Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства

Содержание

Простейшие тригонометрические неравенства
Примеры решения простейших тригонометрических неравенств
Тренируемся в решении простейших тригонометрических неравенств
Простейшие тригонометрические неравенства. Часть 2
Уравнения cosx = a и sinx = a
Линия тангенсов
Уравнение tg x = a
Числовые тригонометрические выражения
Тригонометрические уравнения
Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха!
Однородное тригонометрическое уравнение первой степени
Первый пример. Решение однородного тригонометрического уравнения первой степени
Однородное тригонометрическое уравнение второй степени
Второй пример. Решение однородного тригонометрического уравнения второй степени
Третий пример. Решение однородного тригонометрического уравнения второй степени
Тренировочные задания
Задачи разделены на темы. Задачи из любой темы вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ. Внутри каждой темы задачи мы постарались расположить по возрастанию сложности.
Тема 1: Линейные, квадратные, кубические уравнения
Тема 2: Рациональные уравнения
Тема 3: Иррациональные уравнения
Тема 4: Показательные уравнения
Тема 5: Логарифмические уравнения
Тема 6: Тригонометрические уравнения
Уравнения с модулем
Слева модуль, справа число
Слева модуль, справа выражение, зависящее от переменной
Квадратные уравнения с заменой
Модуль равен модулю
Два или несколько модулей
Модуль в модуле

Простейшие тригонометрические неравенства

(Часть 2 см. здесь)

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида

где $\vee$ – один из знаков <img loading="lazy" src="https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8ccc28476f0e6cc09c4971040075ef0_l3.svg" alt=",\;\leq,\;\geq» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»>, $a\in R$ .

Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I, часть II).

круг тригонометрический

Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.

Отмечаем на оси косинусов $\frac{1}{2}.$

Все значения cosx , меньшие $\frac{1}{2},$ – левее точки $\frac{1}{2}$ на оси косинусов.

Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше $\frac{1}{2}.$

Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки , то есть от точки $\frac{\pi}{3}$ до $\frac{5\pi}{3}$ .

Обратите внимание, многие, назвав первую точку $\frac{\pi}{3},$ вместо второй точки $\frac{5\pi}{3}$ указывают точку $-\frac{\pi}{3}$ , что неверно!

Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения

<img loading="lazy" src="https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-29f2b5d75f4f33620ea15a4b6c18ce3d_l3.svg" alt="\frac{\pi}{3}+2\pi n<x

Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».

Не забываем «накидывать» счетчик $2\pi n,\;n\in Z.$

Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:

тригонометрические неравенства

Отмечаем на оси косинусов $-\frac{\sqrt2}{2}.$

Все значения cosx , большие или равные $-\frac{\sqrt2}{2}$ – правее точки $-\frac{\sqrt2}{2}$ , включая саму точку.

Тогда выделенные красной дугой аргументы отвечают тому условию, что $cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}$ .

$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.$

Отмечаем на оси синусов $-\frac{\sqrt3}{2}.$

Все значения sinx , большие или равные $-\frac{\sqrt3}{2},$ – выше точки $-\frac{\sqrt3}{2}$ , включая саму точку.

«Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:

$-\frac{\pi}{3}+2\pi n \leq x\leq \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z$

<img loading="lazy" src="https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d77d182ed2a52ce59d3d98439a309d49_l3.svg" alt="\frac{\pi}{2}+2\pi n<x

или все , кроме $\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.$

Неравенство $sinx\geq 1$ равносильно уравнению sinx=1 , так как область значений функции y=sinx – [-1;1].

78н

$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.$

Действия – аналогичны применяемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.

Здесь, конечно, нужно знать определение арксинуса.

<img loading="lazy" src="https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-821043440e2bd9dac0226e9180de441a_l3.svg" alt="\pi -arcsin\frac{1}{3}+2\pi n<x

Если не очень понятно, загляните сюда –>+ показать

Тренируемся в решении простейших тригонометрических неравенств

, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. Например, в задании 2 ответ можно было записать и так: $\frac{5\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{11\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.$

Ответ: + показать

Часть 2

стрелка вниз

Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства

Простейшие тригонометрические неравенства. Часть 2

Если вы беретесь за изучение темы «Простейшие тригонометрические неравенства», то должны прежде знать, где находятся оси тангенса и котангенса и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть III).

osi-tg-ctg

Кстати, для сдающих ЕГЭ по математике, – умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Отмечаем на оси тангенсов 1. Указываем все значения тангенса, меньшие 1 – ниже 1.

Снимок экрана 2014-02-08 в 21.39.06

Далее, отмечаем все точки тригонометрического круга, значение тангенса в которых будет меньше 1. Для этого мы ~~мысленно~~ соединяем каждую точку оси тангенсов ниже 1 с началом координат; тогда каждая проведенная прямая пересечет дважды тригонометрический круг. Вот эти-то точки круга нас и интересуют! Они выстраиваются в две дуги (точнее в две серии дуг). Значения тангенса в них – меньше 1.

Заметим, кстати, что дуга $(\frac{3\pi}{2}+2\pi n;\frac{9\pi}{4}+2\pi n),\;n\in Z$ повторяет дугу $(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{5\pi}{4}+2\pi n)$ равно через пол круга, то есть через $\pi$ (период функции y=tgx – это $\pi$ ).

Все подходящие значения можно записать в виде следующего двойного неравенства:

<img loading="lazy" src="https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8f62b1101ba66ef3c450da8dcd06e8c_l3.svg" alt="\frac{\pi}{2}+\pi n<x

$x\in (\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{5\pi}{4}+\pi n),\;n\in Z.$

Отмечаем на оси тангенсов $-\sqrt3$ . Указываем все значения тангенса, большие или равные $-\sqrt3$ – выше $-\sqrt3$ (включая саму точку).

«Транслируем» отмеченные точки оси тангенсов на тригонометрический круг.

Все подходящие значения можно записать в виде следующего двойного неравенства:

<img loading="lazy" src="https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df8f8a8c43f4bfa18bc1e14a34c0630a_l3.svg" alt="\frac{2\pi}{3}+\pi n\leq x

или такого (разницы – никакой):

<img loading="lazy" src="https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-84fe06710d4458f9e986da60b1227929_l3.svg" alt="-\frac{\pi}{3}+\pi n\leq x

Отмечаем на оси котангенсов $\frac{\sqrt3}{3}$ . Указываем все значения котангенса, большие или равные $\frac{\sqrt3}{3}$ – правее $\frac{\sqrt3}{3}$ (включая саму точку).

«Транслируем» отмеченные точки оси котангенсов на тригонометрический круг:

Все подходящие значения можно записать в виде следующего двойного неравенства:

<img loading="lazy" src="https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-17bad9ed5f5773697df97e3e3b77332f_l3.svg" alt="\pi n

Вы обратили внимание, решая тригонометрическое неравенство с тангенсом, – мы не включаем в ответ точки $\pm \frac{\pi}{2}+2\pi n,\;\in Z$ (значение тангенса в этих точках не определено)?

А, решая тригонометрическое неравенство с котангенсом, – мы не включаем в ответ точки $\pi+\pi n,\;\in Z$ (значение котангенса в этих точках не определено).

лор

<img loading="lazy" src="https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f7c538b51fc5c237970163075445c08f_l3.svg" alt="arcctg2+\pi n\leq x

Помните, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. (См., например, задание 2).

Ответ: + показать

Если у вас есть вопросы, – пожалуйста, – пишите в комментариях!

стрелка вниз

Скобки квадратные так как знак неравенства нестрогий и не забываем про период $2\pi*n$. Но сам промежуток неправильный!

Внимание! Так записывать ответ нельзя, потому что промежуток всегда должен быть от меньшего числа к большему. У нас это правило не соблюдается:

Чтобы ответ был в правильном виде, достаточно просто прибавить к правой границе промежутка $2\pi$.

Приведем подобные слагаемые:

Левая граница меньше правой, значит можно записывать ответ.

Рассмотрим неравенство с синусом, которое наиболее часто встречается при нахождении ОДЗ.

Решение аналогично предыдущим примерам. Рисуем единичную окружность, отмечаем на оси синусов значение $0$, оно находится в начале координат. Углы на окружности, синус от которых будет равен $0$ находятся в точках $A$ и $C$: это углы $0+2\pi*n$ и $\pi+2\pi*n$. Все значения синуса выше $0$ нас устраивают, соответствующие им углы лежат на дуге $AC$, от точки $A$ до $C$.

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Задачи из сборников Ященко, 2021 год

Уравнения с модулем

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Простейшие тригонометрические уравнения 2

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть $tg x$ — помним, что он существует, только если ${cos x\ne 0}.$

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам $-4 \pi , -2 \pi , 0, 2 \pi , 4 \pi \dots$ Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$ , где $n$ — целое, а найти надо корни на отрезке $\left [\frac{5 \pi}{2};\frac{9 \pi}{2} \right ].$ На указанном промежутке лежит точка $4 \pi$ . От нее и будем отсчитывать. Получим: $x=4 \pi +\frac{\pi}{3}=\frac{13 \pi}{3}.$

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

а) Решите уравнение $2{{sin}^2 \left(\frac{\pi }{2}+x\right)}=-\sqrt{3}{cos x}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[-3\pi \right.;\left.-\frac{3\pi }{2}\right]$

$2{{sin}^2 \left(\frac{\pi }{2}+x\right)}=-\sqrt{3}{cos x}$

Упростим левую часть по формуле приведения.

$2{{cos}^2 x+\sqrt{3}{cos x}=0}$

Вынесем ${cos x}$ за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок $\left[-3\pi \right.;\left.-\frac{3\pi }{2}\right].$

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения $-\frac{17\pi }{6};-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}.$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам $-4 \pi , -2 \pi , 0, 2 \pi , 4 \pi \dots$ Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений $x=\frac{\pi }{3}+2\pi n$ , где $n$ — целое, а найти надо корни на отрезке $[\frac{5\pi }{2};\frac{9\pi }{2}].$ На указанном промежутке лежит точка $4 \pi.$ От нее и отсчитываем.

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

2. а) Решите уравнение ${({27}^{{cos x}})}^{{sin x}}=3^{\frac{3{cos x}}{2}}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right].$

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

$3{cos x{sin x}}=\frac{3{cos x}}{2}$

$2{cos x{sin x-{cos x=0}}}$

${cos x({sin x-\frac{1}{2})=0}}$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right].$

Отметим на тригонометрическом круге отрезок $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$ и найденные серии решений.

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки $x=-\frac{\pi }{2}$ и $x=\frac{\pi }{2}$ из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in z.$

Точки серии $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in z$ не входят в указанный отрезок.

А из серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in z$ в указанный отрезок входит точка $x=\frac{\pi }{6}.$

Ответ в пункте (б): $-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6} , \frac{\pi }{2}.$

3. а) Решите уравнение ${cos 2x}+{{sin}^2 x=0,5}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi }{2}\right.;\left.-2\pi \right].$

Применим формулу косинуса двойного угла: $\boldsymbol{\cos2\alpha =1-{2\sin}^2\alpha }$

$1-2{{sin}^2 x}+{{sin}^2 x}=0,5$

${{-sin}^2 x=-0,5}$

${{sin}^2 x=0,5}$

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi }{2}\right.;\left.-2\pi \right]$ с помощью двойного неравенства.

$-\frac{7\pi }{2}\le \frac{\pi }{4}+\pi n\le -2\pi$

$-\frac{7}{2}\le \frac{1}{4}+n\le -2$

$-3,75\le n\le -2,25$

$n=-3, x_1=\frac{\pi }{4}-3\pi =-\frac{11\pi }{4}$

$-\frac{7\pi }{2}\le -\frac{\pi }{4}+\pi n\le -2\pi$

$-\frac{7}{2}\le -\frac{1}{4}+n\le -2$

$-3,25\le n\le -1,75$

$n=-3, x_2=-\frac{\pi }{4}-3\pi =-\frac{13\pi }{4}$

$n=-2, x_3=-\frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{9\pi }{4}$

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in Z$ на отрезке $\left[-\frac{\pi }{2}\right.;\left.20\pi \right].$ Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

Про ЕГЭ: Досрочная сдача ЕГЭ-2023

4. а) Решите уравнение $\left({tg}^2x-3\right)\sqrt{11{cos x}}=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right].$

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие ${11cos x}\ge 0$ заметно сразу. А условие ${cos x}\ne 0$ появляется, поскольку в уравнении есть ${tg x=\frac{{sin x}}{{cos x}}}.$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Уравнение равносильно системе:

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014 , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси $Y$ .

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Ответ в пункте а) $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n, n\in z$

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right].$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

5. а) Решите уравнение $\sqrt{{cos x+{sin x}}}({{cos}^2 x-\frac{1}{2})=0}$

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $[-\pi ;4\pi ].$

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых ${cos x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ или ${cos x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых $tgx=-1.$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Числа серии $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi n$ не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие ${cos x+{sin x}}\ge 0$ . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[-\pi ;4\pi ]$ любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.

На отрезке $\left[-\pi ;0\right]$ нам подходит корень $x =-\frac{\pi }{4}$ .

На отрезке $\left[0;2\pi \right]$ нам подходят корни $x=\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4}$ .

На отрезке $\left[2\pi ;4\pi \right]$ — корни $x= \frac{9\pi }{4} ; \frac{11\pi }{4};\frac{15\pi }{4}.$

Ответ в пункте б): $-\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4};\frac{\pi }{4};\frac{9\pi }{4} ; \frac{11\pi }{4};\frac{15\pi }{4}.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание №12. Уравнения u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

В задании №5 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Арифметический квадратный корень

Корни и степени

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение $\frac{6}{13}x^2=19\frac{1}{2}$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь $\frac{6}{13}$ умножается на $x^2.$
А в правой части — смешанное число $19\frac{1}{2}.$ Его целая часть равна 19, а дробная часть равна $\frac{1}{2}.$ Запишем это число в виде неправильной дроби:

$19\frac{1}{2}=\ \frac{19\cdot 2+1}{2} = \frac{39}{2}.$

$\frac{6}{13}x^2=\frac{39}{2};$

$x^2=\frac{39\cdot 13}{2\cdot 6}=\frac{13\cdot 3\cdot 13}{2\cdot 6}=\frac{{13}^2}{4};$

$x=\pm \frac{13}{2};$

Выбираем меньший корень.

2. Решите уравнение $\left ( x-6 \right )^2=-24x.$

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

$\left ( x-6 \right )^2=-24x\Leftrightarrow x^2-12x+36=-24x\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^2+12x+36=0\Leftrightarrow \left ( x+6 \right )^2=0\Leftrightarrow x=-6.$

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как $\frac{4x-5}{4x-5}$ и приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{5x-3}{4x-5}-\frac{4x-5}{4x-5}=0;$

$\frac{x+2}{4x-5}=0;$

$x= - 2.$

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

$\sqrt{\frac{6}{4{x}-54} } =\frac{1}{7}.$

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$\frac{6}{4{x}-{ 54}} =\frac{1}{49}.$

$4{x}-{ 54}={ 6}\cdot { 49};$

$4{x}=348;$

${ x}={ 87}.$

Условие Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014 при этом выполняется.

5. Решите уравнение $\sqrt{72-x}=x.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

$\sqrt{72-x}=x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 72-x=x^2\\72-x \geq 0 \\x \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$

Мы получили, что $x=8$ . Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

$72-x\ge 0.$

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: $x^2+x-72=0.$ Находят его корни: $x=8$ или $x=-9.$ Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

6. Решите уравнение $\sqrt{45+4x}=x$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов:

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение $5^{x-7}=\frac{1}{125}.$

Вспомним, что $125 = 5{}^{3}.$ Уравнение приобретает вид: $5{}^{x}{}^{-}{}^{7 }= 5{}^{-}{}^{3}.$ Функция $y = 5^x$ монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

8. Решите уравнение ${\left(\frac{1}{49}\right)}^{x-8}=7.$

Представим ${\left(\frac{1}{49}\right)}^{ }$ как $7^{-2};$

${\left(7^{-2}\right)}^{x-8}=7;$

$7^{-2x+16}=7.$

Функция $y = 7^x$ монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

$-2x+16=1;$

$-2x=-15;$

$x=7,5.$

9. Решите уравнение $\left(\frac{1}{9} \right)^{{ x}-13} =3.$

Представим ${\textstyle\frac{1}{9}}$ в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что $\left({ a}^{{ m}} \right)^{{ n}} ={ a}^{{ mn}}.$

$\left(3^{-2} \right)^{{ x}-{ 13}} =3;$
$3^{-2{ x}+{ 26}} =3^{1} ;$

$-2{ x}+{ 26}={ 1};$

${ x}={ 12,5}.$

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел.

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

${{log}_5 \left(4+x\right)=2 }.$

Область допустимых значений: Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014 . Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как ${{log}_5 25 }$ , чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

${{log}_5 \left(4+x\right)={{log}_5 25 } }.$

Функция $y = {{log}_5 x }$ монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$4+x=25;$
$x=21.$

11. Решите уравнение: ${{log}_8 \left(x^2+x\right)={{log}_8 \left(x^2-4\right) } }.$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

12. Решите уравнение: $2^{{{log}_4 \left(4x+5\right) }}=9.$

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

${{log}_4 b }=\frac{{{log}_2 b }}{{{log}_2 4 }}=\frac{{{log}_2 b }}{2}.$

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

${{log}_{x-5} 49=2 }.$

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

$\small \left\{\begin{matrix} \left ( x-5 \right )^2=49\\x-50 \\x-5 \neq 1 \end{matrix}\right..$

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: $x=12$ и $x=-2.$

Очевидно, корень $x=-2$ является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения: $x=12.$

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: $cos \frac{\pi (x+1)}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену $\frac{\pi \left(x+1\right)}{4}=t.$ Получим: $cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Получаем решения: $t=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n, n\in Z.$ Вернемся к переменной x.

$\frac{\pi (x+1)}{4}=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n, n\in Z.$ Поделим обе части уравнения на $\pi$ и умножим на 4.

$x+1=\pm 1+8n, n\in Z;$

$\left[ \begin{array}{c}x=8n, n\in Z \\x=-2+8n \end{array}\right..$

Первой серии принадлежат решения $-8; 0; 8\dots$

Вторая серия включает решения $-2; 6; 14\dots$

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это $x = -2.$

15. Решите уравнение: $tg \frac{\pi \left( x+1\right)}{4}= -1.$ В ответе напишите наименьший положительный корень.

Сделаем замену $\frac{\pi \left(x+1\right)}{4}=t.$ Получим: $tgt=-1.$ Решения этого уравнения:

$t=-\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z.$ Вернемся к переменной х:

$\frac{\pi \left(x+1\right)}{4}=-\frac{\pi }{4}+\pi n, n \in Z.$ Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на $\pi$ .

$x+1=-1+4n;$

$x=-2+4n.$

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

$x=-2 ;2; 6\dots$ Наименьший положительный корень $x = 2.$

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №5 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Именно поэтому мы рекомендуем начинать подготовку к ЕГЭ по математике не с задания 1, а с текстовых задач на проценты, движение и работу и основ теории вероятностей.
Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$
Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники допускают множество элементарных ошибок. Цель данной статьи — уберечь вас от нелепых и досадных потерь баллов в подобной ситуации на едином госэкзамене.

Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.

Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрёжки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы забраковываем этот подход раз и навсегда.

Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.

Данный подход требует понимания, осмысленных действий и ясного видения тригонометрического круга. Не беспокойтесь, эти трудности преодолеваются быстро. Усилия, потраченные на этом пути, будут щедро вознаграждены: вы начнёте безошибочно решать тригонометрические уравнения.

Уравнения cosx = a и sinx = a

Напомним, что cos x — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу x, а sin x — её ордината.

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения cosx = a и sinx = a имеют решения только при условии $Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$
. Абитуриент, будь внимателен! Уравнения $Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$
или cosx = −7 решений не имеют!

Начнём с самых простых уравнений.

1. cosx = 1.

Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, 2π, −2π, 4π, −4π, 6π, −6π, . . . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов 2π (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).

Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что Z — это множество целых чисел.

2. cosx = -1.

Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой −1:

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Эта точка соответствует углу π и всем углам, отличающихся от π на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

3. sinx = 1.

Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой 1:

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

И записываем ответ:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

4. sinx = -1.

Обсуждать тут уже нечего, не так ли? 🙂

Про ЕГЭ: ОГЭ-2023. Биология. Рохлов. Типовые 10 вариантов ФИПИ Ответы Школа и ВУЗ Народный портал 2022-2023 год

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Это — дело исключительно вашего вкуса.

Заодно сделаем первое полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить 2πn.

5. sinx = 0.

На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Эти точки соответствуют углам 0, ±π, ±2π, ±3π, . . . Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов π (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.

6. cosx = 0.

Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из $Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$ прибавлением целого числа углов π (полуоборотов):

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить πn.

Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ±1). Начинаем с косинуса.

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой $Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Обе серии решений можно описать одной формулой:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.

Имеем горизонтальную пару точек с ординатой $Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$ :

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Углы, отвечающие правой точке:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Углы, отвечающие левой точке:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она даёт обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных k. Если k = 2n, то

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Мы получили первую серию решений x₁. А если k нечётно, k = 2n + 1, то

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Это вторая серия x₂.

Обратим внимание, что в качестве множителя при (−1)^k обычно ставится правая точка, в данном случае $Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$ .

Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.

Линия тангенсов

Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная AB к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Из подобия треугольников OAB и ONM имеем:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Но $Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$
поэтому $Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Мы рассмотрели случай, когда x находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда x находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.

Тангенс угла x равен ординате точки B, которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой OM, соединяющей точку x с началом координат.

Вот рисунок в случае, когда x находится во второй четверти. Тангенс угла x отрицателен.

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Уравнение tg x = a

Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение tg x = a имеет решения при любом a.

Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Имеем диаметральную пару:

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

На этом заканчиваем пока и с тангенсом.

Уравнение ctg x = a нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:

• уравнение ctg x = 0 равносильно уравнению cos x = 0;

• при $Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$
уравнение $Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$
равносильно уравнению $Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях 🙂

Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.

А что делать, например, с уравнением $Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$
? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Простейшие тригонометрические уравнения. Часть 1» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Числовые тригонометрические выражения

Алгоритм применения формул приведения:

Если угол можно представить в виде , где – натуральное, то функция на кофункцию не меняется.
Пример: $\sin (\pi n\pm \alpha)=\bigodot \sin \alpha$, где на месте должен стоять знак синуса для угла $(\pi n\pm \alpha)$

Основные формулы:

Задание
1

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения $2\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ$.

Задание
2

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Задание
3

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения

(Задача от подписчиков.)

Задание
4

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения

По формуле синуса двойного угла имеем: . Следовательно,

Задание
5

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения

(Задача от подписчиков.)

Заметим, что :

Таким образом, по формулам приведения:

Следовательно, выражение принимает вид:

Задание
6

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Задание
7

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Тригонометрические уравнения

Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную в аргументе одной или нескольких тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.

Основные формулы приведения:

Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:

Задание
1

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В ответе укажите наименьший положительный корень уравнения, деленный на .

Задание
2

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В ответе укажите целый корень уравнения.

Задание
3

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В ответе укажите наименьший положительный корень.

Задание
4

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Задание
5

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В ответе укажите наименьший положительный корень, принадлежащий первой четверти, деленный на .

Задание
6

Уровень задания: Равен ЕГЭ

ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ:

Задание
7

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В ответе укажите произведение наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения, деленное на .

На этапе подготовки к ЕГЭ по математике старшеклассникам полезно повторить, как решать тригонометрические уравнения. Задания из данного раздела вызывают у учащихся определенные сложности, поэтому к ним необходимо отнестись с особым вниманием. Здесь вы можете ознакомиться с теорией, требующейся для выполнения упражнений, а также примерами с решениями тригонометрических уравнений. Обратите внимание, что подобные задания встречаются в аттестационных тестах довольно часто, поэтому пропускать повторение темы не стоит.

Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха!

С помощью нашего образовательного портала занятия по математике будут проходить легко, и даже одни из самых сложных уравнений не вызовут особых затруднений. На сайте «Школково» представлены все необходимые для успешной сдачи ЕГЭ материалы.

Вся основная информация по теме использования функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) располагается в разделе «Теоретическая справка», куда вы можете перейти с помощью кнопки «Ознакомиться с полной теорией». Наши преподаватели систематизировали и изложили все необходимые для успешной сдачи материалы в максимально простой и понятной форме. Вы быстро найдете необходимые правило и формулу, и решение тригонометрических уравнений будет даваться максимально легко.

А в разделе «Каталоги» вы сможете попрактиковаться в выполнении заданий. Здесь вы найдете множество уравнений различной сложности, в том числе профильного уровня.

Если какое-либо задание вызвало у вас затруднения, его можно добавить в «Избранное» и вернуться к нему позже для повторения или обсуждения решения с преподавателем.

База «Школково» постоянно обновляется, поэтому недостатка в задачах не будет.

На нашем портале могут заниматься не только московские школьники, но и ученики из городов по всей России. Чтобы приступить к повторению данной темы, а также, например, решению логарифмических уравнений, зарегистрируйтесь на сайте shkolkovo.net. Для большей эффективности уроков рекомендуем ежедневные занятия на нашем портале.

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Основные формулы приведения:

Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:

Задание
8

Уровень задания: Равен ЕГЭ

ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ:

Задание
9

Уровень задания: Равен ЕГЭ

ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ:

Задание
10

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В ответе укажите произведение наибольших двух отрицательных корней уравнения, деленное на .

Задание
11

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Задание
12

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В ответе укажите сумму наименьших трех положительных корней уравнения, деленную на .

Задание
13

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В ответе укажите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения.

Задание
14

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Последняя деталь, как решать задания С1 из ЕГЭ по математике — решение однородных тригонометрических уравнений. Как их решать мы расскажем в этом завершающем уроке.

Что же представляют из себя эти уравнения? Давайте запишем их в общем виде.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

где `a` и `b` — некоторые константы. Это уравнение называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Однородное тригонометрическое уравнение первой степени

Чтобы решить такое уравнение, нужно поделить его на `\cos x`. Тогда оно примет вид

Ответ такого уравнения легко записывается через арктангенс.

Обратите внимание, что `\cos x ≠0`. Чтобы убедиться в этом, подставим в уравнение вместо косинуса ноль и получим, что синус тоже должен быть равен нулю. Однако одновременно нулю они равны быть не могут, значит, косинус — не ноль.

Про ЕГЭ: Задания ЕГЭ по обществознанию 2023: теория и практика

Некоторые задания реального экзамена этого года сводились к однородному тригонометрическому уравнению. Перейдите по ссылке, чтобы посмотреть решение такого С1 полностью. Мы же возьмем чуть упрощенный вариант задачи.

Первый пример. Решение однородного тригонометрического уравнения первой степени

$$\sin x + \cos x = 0.$$

Разделим на `\cos x`.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$\tg x =- 1,$$

Повторюсь, подобное задание было на ЕГЭ 🙂 конечно, нужно еще выполнить отбор корней, но это тоже не должно вызвать особых трудностей.

Давайте теперь перейдем к следующему типу уравнений.

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени

В общем виде оно выглядит так:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

где `a, b, c` — некоторые константы.

Такие уравнения решаются делением на `\cos^2 x` (который вновь не равен нулю). Давайте сразу разберем пример.

Второй пример. Решение однородного тригонометрического уравнения второй степени

$$\sin^2 x — 2\sin x \, \cos x — 3\cos^2 x = 0.$$

Разделим на `\cos^2 x`.

Заменим `t = \tg x`.

$$t^2 — 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3, \ t_2 = -1.$$

Третий пример. Решение однородного тригонометрического уравнения второй степени

Все бы ничего, но это уравнение не однородное — нам мешает `-2` в правой части. Что делать? Давайте воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и распишем с его помощью `-2`.

Разделим на `\cos^2 x`.

Замена `t= \tg x`.

Выполнив обратную замену, получим:

Это последний пример в этом уроке.

Как обычно, напомню: тренировка, это наше все. Каким бы гениальным ни был человек, без тренировки навыки не разовьются. На экзамене это черевато волнением, ошибками, потерей времени (продолжите этот список самостоятельно). Обязательно занимайтесь!

Тренировочные задания

`10^{\sin x} = 2^{\sin x} \cdot 5^{-\cos x}`. Это задание из реального ЕГЭ 2013. Знание свойств степеней никто не отменял, но если забыли, подсмотреть решение такого же уравнения можно здесь;
`\sqrt{3} \sin x + \sin^2 \frac{x}{2} = \cos^2 \frac{x}{2}`. Пригодится формула из седьмого урока.
`\sqrt{3} \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

На этом все. И как обычно напоследок: задаем вопросы в комментариях, ставим лайки, смотрим видео, учимся решать ЕГЭ.

верхняя шапка

Задачи разделены на темы. Задачи из любой темы вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ. Внутри каждой темы задачи
мы постарались расположить по возрастанию сложности.

Тема 1: Линейные, квадратные, кубические уравнения

Тема 2: Рациональные уравнения

Тема 3: Иррациональные уравнения

Тема 4: Показательные уравнения

Тема 5: Логарифмические уравнения

Тема 6: Тригонометрические уравнения

нижняя шапка

Уравнения с модулем

Слева модуль, справа число
Слева модуль, справа выражение, зависящее от переменной
Квадратные уравнения с заменой
Модуль равен модулю
Два или несколько модулей
Модуль в модуле

Эта статья посвящена приёмам решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение с модулем, его можно решить, вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда, занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним определение модуля.

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Если число x неотрицательное, то модуль x равен самому числу x.

А для отрицательного числа x модуль равен противоположному ему положительному числу -x.

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем.

Начнем с простых заданий.

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Нам поможет геометрический смысл модуля.

Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Очевидно, расстояние не может быть отрицательным. Оно или положительно, или равно нулю. Например, $|-2|=2$ . Другими словами, расстояние от точки -2 до нуля равно 2. Этим мы пользуемся при решении уравнений.

1. Решим уравнение: $| x| = 2.$

На числовой прямой есть ровно две точки, расстояние от которых до нуля равно двум. Это точки 2 и -2. Значит, у уравнения $|x|=2$ есть два решения: $x=2$ и $x=-2$ .

Ответ: -2; 2.

2. Решите уравнение: $\left|8x-3\right|=21.$

$\left|8x-3\right|=21\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}8x-3=21 \\8x-3=-21 \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}8x=24 \\8x=-18 \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x=3 \\x=-\displaystyle \frac{9}{4} \end{array}\right.\right.\right. .$

3. Решите уравнение: $\left|2x^2-6x+1\right|=9.$

$\left|2x^2-6x+1\right|=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}2x^2-6x+1=9 \\2x^2-6x+1=-9 \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}2x^2-6x-8=0 \\2x^2-6x+10=0 \end{array}\Leftrightarrow \right.\right.$
$\left[ \begin{array}{c}x^2-3x-4=0 \\x^2-3x+5=0 \end{array}\Leftrightarrow \right.\left[ \begin{array}{c}x=4 \\x=-1 \end{array}\right..$

Мы получили совокупность двух квадратных уравнений. А затем решили отдельно каждое из них.

Вот что мы делали, решая квадратные уравнения:

$x^2-3x-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x=4 \\x=-1 \end{array}\right.$ — применили теорему Виета и нашли корни.

4. Решим уравнение: $|x^2 - 5x + 4| = 4.$

Задача похожа на предыдущую.

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет корней. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

Слева модуль, справа выражение, зависящее от переменной

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014
<img title="\left\{\begin{matrix} 2-x

Решение первой системы: $x = 1$ . У второй системы решений нет.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Число $x_2$ , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число $x_1$ . Для этого составим разность и определим её знак:

0.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?x_{1}-3=\frac{3+\sqrt{13}}{2}-3=\frac{\sqrt{13}-3}{2}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{2}%3E0.»>

Значит, $x_1$ больше трёх и потому является корнем исходного уравнения.

Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Число $x_3$ . больше, чем $Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$ , и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим $x_4$ :

<img title="x_{4}-3=\frac{11-\sqrt{29}}{2}-3=\frac{5-\sqrt{29}}{2}=\frac{\sqrt{25}-\sqrt{29}}{2}

Значит, $x_4$ . является корнем исходного уравнения.

7. Решите уравнение: $\left|\displaystyle \frac{x+1}{x-3}\right|$ = x.
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший корень

ОДЗ уравнения: x≠3. Так как в левой части уравнения — неотрицательная величина, должно также выполняться условие $x\geq 0.$ Возведем обе части уравнения в квадрат

$(\displaystyle \frac{x+1}{x-3}-x)(\displaystyle \frac{x+1}{x-3}+x)=0,$

$\displaystyle \frac{x+1}{x-3}- x=0,$

$\displaystyle \frac{x+1}{x-3}+ x=0.$

$\left[ \begin{array}{c}x^2\ -\ 4x\ -\ 1=\ 0 \\x^2\ -\ 2x\ +\ 1=\ 0 \end{array}\right. .$

$\left[ \begin{array}{c}x\ =\ 2\ +\sqrt{5}\ \\x\ =\ 2\ -\ \sqrt{5\ } \\x=\ 1 \end{array}\right.\ \ .$

Так как $x = 2- \sqrt{5 }\textless 0$ — это посторонний корень. Уравнение имеет два корня: $x = 2 +\sqrt{5}$ или $x=1.$

Меньший корень: 1.

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не полный квадрат.

Давайте воспользуемся следующим правилом:

Уравнение вида $| A| = B$ равносильно совокупности двух систем:

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014
$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

То же самое, но немного по-другому:

$|A|=B\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} A=B,\\ A=-B, \end{matrix}\right. B\geq 0.$

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию $B \geq 0.$

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$
$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$
$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Затем решаем второе уравнение:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

0;\\ \, \\ 6x_{2}-1=6\cdot \frac{9-\sqrt{105}}{4}-1=\frac{50-6\sqrt{105}}{4}=\frac{\sqrt{2500}-\sqrt{3780}}{4}0;\\ 6x_{4}-1=-15-1

Подходят только $x_1$ и $x_3$ .

Еще одно уравнение того же типа.

9. Решите уравнение: $\left|x^2+3x\right|=2\left(x+1\right)$ .

Это уравнение вида $\left|A\right|=B.$ Вспомним, что оно равносильно системе:

$\left|A\right|=B\Leftrightarrow \left\{\ \begin{array}{c}B\ge 0 \\\left[ \begin{array}{c}A=B \\A=-B \end{array}\right. \end{array}\right. .$

$\left|x^2+3x\right|=2\left(x+1\right)\Leftrightarrow \left\{\ \begin{array}{c}2\left(x+1\right)\ge 0 \\\left[ \begin{array}{c}x^2+3x=2x+2 \\x^2+3x=-2x-2 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\ \begin{array}{c}x\ge -1 \\\left[ \begin{array}{c}x^2+x-2=0 \\x^2+5x+2=0 \end{array}\right. \end{array}\right. .$

Решим отдельно каждое уравнение совокупности.

$1)\ x^2+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x=-2 \\x=1 \end{array}\right.$ по теореме Виета.

$2)\ x^2+5x+2=0.$

$D=25-8=17;\ \ x_{1,2}=\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{17}}{2}\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x=\displaystyle \frac{-5-\sqrt{17}}{2} \\x=\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2} \end{array}\right. .$

Система примет вид:

$\left\{ \begin{array}{c}x\ge -1 \\\left[ \begin{array}{c}x=-2 \\x=1 \\x=\displaystyle \frac{-5-\sqrt{17}}{2} \\x=\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2} \end{array}\right. \end{array}\right.\ \ .$

Сравним $\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2}$ и $-1.$ Для сравнения мы будем использовать вот такой символ: $\vee .$

Умножим обе части этого неравенства на 2: $-5+\sqrt{17}\vee -2$ .

Прибавим 5 к обеим частям выражения: $\sqrt{17}\vee 3.\$ Обе части выражения неотрицательны, поэтому возведем их в квадрат и сравним квадраты. Очевидно, 17 $\textgreater$ 9. Это значит, что $\sqrt{17}\textgreater 3$ и $\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2}\textgreater \ -1.\$

Остальные корни, очевидно, меньше, чем -1.

Квадратные уравнения с заменой $| x| = t$

Замена переменной — универсальный способ решения всевозможных уравнений. И этот способ помогает нам решать квадратные уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

10. Решим уравнение: $x^2 + 2|x| - 3 = 0.$

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида $| A| = | B| .$ Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

$|A|=|B|\, \, \Leftrightarrow \, \, \left [ \begin{matrix} A=B,\\ A=-B. \end{matrix} \right.$

Как мы получили это равенство? Покажем на примере задачи.

11. Решите уравнение: $\left|2x+5\right|=\left|x-1\right|.$

Возведем обе части в квадрат, поскольку они неотрицательны.

${\left(2x+5\right)}^2={\left(x-1\right)}^2.$

Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов:

$a^2-b^2=\left(a-b\right)\cdot \left(a+b\right);$

${\left(2x+5\right)}^2={\left(x-1\right)}^2\Leftrightarrow {\left(2x+5\right)}^2-{\left(x-1\right)}^2=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left(2x+5-x+1\right)\left(2x+5+x-1\right)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left(x+6\right)\left(3x+4\right)=0\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x+6=0 \\3x+4=0 \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x=-6 \\x=-\displaystyle \frac{4}{3} \end{array}\right.\right. .$

12. Решим уравнение: $|3x^2 + 5x - 9| = |6x + 15|$ .

Уравнение равносильно следующей совокупности:

$\left [ \begin{matrix} 3x^{2}+5x-9=6x+15,\\ 3x^{2}+5x-9=-6x-15. \end{matrix} \right.$

Решим каждое из уравнений совокупности и запишем ответ.

$D=1+4\cdot 3 \cdot 24 = 289 = 17^2 ;$

$\displaystyle x=\frac{1 \pm 17}{6} ; x_{1}=3, \; x_2 = \frac{8}{3}$ — корни первого квадратного уравнения.

$D=121-4\cdot 3\cdot 6=49=7^2 ;$

$\displaystyle x=\frac{-11\pm 7}{6};$ $x_3=-3;$ $\displaystyle x_4=-\frac{2}{3}$ — корни второго квадратного уравнения.

В ответ запишем все 4 корня.

Два или несколько модулей

13. Решим уравнение: $|x - 1| - 2|x - 2| + 3|x - 3| = 4.$

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении).

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются с «плюсом»:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается с «минусом»:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются с «минусом»:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Модуль в модуле

14. Решим уравнение: $||3 - x| - 2x + 1| = 4x - 10.$

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Выражение под модулем обращается в нуль при $Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$ . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) $Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$ Получаем в этом случае:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) $Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$ . Тогда:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

2) x ≥ 3. Имеем:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается с «плюсом»:

$Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014$

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Часто в решении уравнений и неравенств с модулем используется график функции $y = | x| .$ Он строится согласно определению модуля:

Для $x \geq 0$ получаем участок графика y = x.

Для $x\textless 0$ получаем участок графика y = −x. Вот этот график:

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

15. Решите уравнение: $\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}+\sqrt{x-6\sqrt{x-9}}=6.$

Сделаем замену переменной: $\sqrt{x-9}=t,\ \ \ t\ge 0.$

Мы помним, что $\sqrt{a^2}=\left|a\right|;$

$\left|t+3\right|+\left|t-3\right|=6.$

Решим уравнение графически. В левой части — график функции $y\ \left(t\right)=\ \left|t+3\right|+\left|t-3\right|.\$

Построим этот график. Сначала изобразим графики функций $y = | t - 3 |$ (точка минимума (3; 0)) и $y = | t + 3|$ (точка минимума ( -3; 0)). Можно сказать, что график функции $y = | t - 3 |$ сдвинут относительно графика $y = | t |$ на 3 единицы вправо, а график $y = | t + 3 |$ — на 3 единицы влево.

И построим график суммы функций $y = | t - 3 |$ и $y = | t + 3 | .$

В точке с абсциссой 3 значение одного из слагаемых равно 0, другое слагаемое равно 6, сумма равна 6.

В точке с абсциссой -3 аналогично.

При х = 0 оба слагаемых равны 3, сумма равна 6.

Легко доказать, что сумма двух линейных функций есть линейная функция.

Поэтому при — $3 \leq x \leq 3$ получим горизонтальный участок. При x $\textgreater$ 3 получим луч с угловым коэффициентом, равным 2, а при x $\textless$ — 3 — луч с угловым коэффициентом, равным — 2.

Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Решения нашего уравнения — все $t,$ принадлежащие отрезку от $-3$ до $3.$

$-3\le t\le 3.$

Мы рассмотрели все основные типы уравнений с модулями.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Уравнения с модулем» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023