Задание 17. уравнения и неравенства с параметром
Существует ровно три генеральных метода решения задач 17:
- Метод перебора — классический перебор вариантов. Например, когда выражение под модулем больше нуля и когда меньше;
- Графический метод — привлечение чертежа. Во многих задачах 17 достаточно начертить графики функций — и решение становится очевидным;
- Метод следствий — нестандартный и, как правило, самый изощренный. Если в исходном условии удастся подметить что-нибудь полезное, в дальнейшем можно значительно упростить решение всей задачи.
Конечно, одну и ту же задачу зачастую можно решить разными способами. Но далеко не все они оптимальны: выбрав неправильный «путь», можно увязнуть в вычислениях, так и не дойдя до ответа.
Поэтому в данном разделе я рассмотрю все способы, а ваша задача — практиковаться и учиться правильно выбирать.:)
- Глава 1.
- Графический подход
- § 1.
- Вебинар по задачам 18: модуль и окружности
- § 2.
- Как решать задачу 18: графический подход
- § 3.
- Задача 18: две окружности и модуль
- § 4.
- Задача 18: пересечение графиков окружности и модуля
- § 5.
- Новая задача 18 из пробного ЕГЭ — наглядный пример того, как эффективно работает графическое решение задач с параметром.
- Глава 2.
- Аналитический подход
- § 1.
- Задачи 18: Аналитическое решение
- § 2.
- Окружность и модуль: задачи 18 с двумя параметрами
- § 3.
- Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантов
- Глава 3.
- Нестандартные приемы
- § 1.
- Задача 18: метод симметричных корней
- § 2.
- Как увидеть симметрию корней в задаче 18?
- § 3.
- Метод мажорант в задаче 18
- § 4.
- Графическое решение сложных задач 18 с модулем
- § 5.
- Задание 18: Симметрия корней в системе уравнений
- § 6.
- Анализ знаков квадратного трёхчлена в сложных задачах 18
- § 7.
- Применение производной для отыскания точек пересечения графиков
- § 8.
- Продвинутый метод симметричных корней
- § 9.
- Новая задача 18 с графическим решением
Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:
Регулярно тренируйтесь в решении задач
Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.Вы можете:
Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.
Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.
Решу егэ
ОДЗ данного уравнения: 
Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
имеет на отрезке
хотя бы одно решение, не равное
Преобразуем уравнение:
Функция в правой части уравнения на отрезке монотонно возрастает от 0 до 2. Функция в левой части монотонно убывает от 9k до 6k при 
. Таким образом, уравнение на отрезке будет иметь единственный корень в случае если 
и 
то есть при 
При 
функция в левой части уравнения отрицательна, и уравнение корней не имеет.
Осталось только выкинуть случай, когда единственный корень попадает в точку 
В этом случае получим:
откуда получаем ответ.
Приведём другое решение.
Областью определения заданного уравнения являются все числа отрезка 
кроме точки, в которой 
то есть кроме точки На этой области имеем:
Найдём множество значений левой части. Пусть 
тогда
Найденная производная положительна на области определения уравнения, функция f (t) возрастает на ней, принимая все значения из отрезка 
кроме значения 
Тем самым, 
Следовательно, искомыми значениями параметра являются все числа из отрезка 
кроме 
Приведем третье решение.
ОДЗ данного уравнения:
Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
имеет на отрезке
хотя бы одно решение, не равное
Преобразуем уравнение:
Обозначим 
тогда последнее уравнение примет вид 
В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку 
Точки пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью представляют собой решения уравнения. Чтобы на промежутке были решения, прямая должна пересекать дугу окружности, выделенную зелёным цветом, и не проходить через точку
Угловой коэффициент горизонтальной прямой 
У прямой, проходящей через верхнюю точку дуги, угловой коэффициент 
У прямой, проходящей через точку 
угловой коэффициент 
Таким образом, условие задачи выполняется при 
Вернувшись к параметру 
получаем:
или 
Комментарий.
Изложим идею решения иными словами.
Обозначим в исходном уравнении 
Далее заметим, что при условии 
можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде 
Отметим далее, что в силу введённых обозначений 
Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти (
) и отличные от точек прямой 
Ответ: или
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2022. Вариант 4. (Часть C).
