Задачи на Физический смысл производной
Задачи на применение физического смысла производной состоят из текста и выражения, описывающего уравнение движения материальной точки или тела.
Производная перемещения по времени выражает скорость движения: v(t) = x'(t) = at v0.Производная скорости по времени выражает ускорение движения: a(t) = v'(t).
Задачи на Геометрический смысл производной
Задание ориентировано на умение выпускников читать и анализировать графики, содержит задачи на определение или вычисление величин по графику, рассчитано на умение использовать знания в практической деятельности. При подготовке нужно повторить понятия: точка максимума, точка минимума, точки экстремума, убывание и возрастание функции, уравнение касательной к графику функции.
Геометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 равен производной этой функции в точке х0.Геометрический смысл производной: k = tg a = f'(x)
Производная функции в точке с абсциссой х есть тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику этой функции в точке (х0; f(x0)). При tg a > 0 производная функции положительна, при tg a < 0 производная отрицательна. При tg a = 0 производная равна нулю.
Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая окрестность точки х0, что для любого х из этой окрестности верно неравенство f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)).
Задача № 6 (3). На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: х1, х2, х3, х4, х5. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Решение: Производная функции отрицательна в тех точках, которые принадлежат участкам убывания функции. Это точки х2, х4 — всего 2 точки.
Ответ: 2.Задача № 6 (4). На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами А, В, С и D. Пользуясь графиком, определите, в какой из данных точек значение производной наибольшее. В ответе укажите число, которое ей соответствует по таблице.
Решение: Производная функции отрицательна в тех точках, которые принадлежат участкам убывания функции. Это точки х2, х4 — всего 2 точки.
Ответ: 2.Задача № 6 (4). На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами А, В, С и D. Пользуясь графиком, определите, в какой из данных точек значение производной наибольшее. В ответе укажите число, которое ей соответствует по таблице.
Решение: Производная функции положительна в точках А и D, так как в данных точках функция возрастает.
Угол 1 больше угла 2, значит, тангенс первого угла больше тангенса второго угла, соответственно, значение производной в точке А больше значения производной в точке D.
Ответ: 1.Задача № 6 (5). На рисунке изображён график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой у = 3х–2 или совпадает с ней.
Угол 1 больше угла 2, значит, тангенс первого угла больше тангенса второго угла, соответственно, значение производной в точке А больше значения производной в точке D.
Ответ: 1.Задача № 6 (5). На рисунке изображён график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой у = 3х–2 или совпадает с ней.
Решение: Поскольку касательная параллельна прямой у = 3х – 2 или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент, равный 3 (у’ = 3). Найдём, при каких х производная принимает значение 3. Из графика видно, что значению у = 3 соответствует точка х = 4.
Ответ: 4.
Задачи на Применениепроизводной к исследованию функций
Задание содержит задачи на определение или вычисление величин по графику, рассчитано на умение использовать знания в практической деятельности. При подготовке нужно повторить понятия: точка максимума, точка минимума, точки экстремума, убывание и возрастание функции, уравнение касательной к графику функции.
- Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке х0, то в этой точке производная равна нулю или не существует.
- Если f'(x) = 0 и при переходе через точку х0 значения производной меняют знак с « » на «–», то х0 — точка максимума.
- Если f'(x) = 0 и при переходе через точку х0 значения производной меняют знак с «–» на « », то х0 — точка минимума.
- Если f'(x) = 0 и при переходе через точку х0 значения производной не меняют знак, то х0 не является точкой экстремума.
- Если в каждой точке х некоторого промежутка f'(х) > 0, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.
- Если в каждой точке х некоторого промежутка f'(х) < 0, то функция f{x) убывает на этом промежутке.
Задача № 6 (6). На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (–7; 7). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение: Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная положительна, то есть промежуткам (–7; –6); (–4; –2); (2; 4); (6; 7). Данные промежутки содержат целые числа –3; 3. Их сумма равна 0.
Ответ: 0.
ПРИМЕЧАНИЕ: В ответе нужно указать сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания.
Задачи на Первообразную
Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на заданном промежутке х, если для всех х из этого промежутка верно равенство F'(x) = f(x).
Если функция y = F(x) является первообразной для функции y = f(x) на некотором промежутке, то и функция y = F(x) C (С — постоянная) является первообразной для функции f на этом промежутке.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b]. Тогда площадь трапеции, ограниченной линиями y = f(x); у = а; у = b и у = 0, равна F(b) – F(a), где F(x) — первообразная функции f(x).
Задача № 6 (7). На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F(5) – F(1), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Решение: Разность значений первообразной в точках 5 и 1 равна площади выделенной на рисунке трапеции.
Площадь трапеции ограничена точками 1 и 5.
Площадь трапеции вычисляется по формуле S = h • (a b)/2.
Из рисунка видно, что а =2, b = 4, h = 4. Значит, F(5) – F(1) = 4 • (2 4)/2 = 12.
Ответ: 12.
ПРИМЕЧАНИЕ: Если результат отрицательный или равен нулю, значит, в вычислениях была допущена ошибка.
Задачи, которые были на экзамене за последние 10 лет
2022:
2022:
2022:
2022:
2022:
2022:
2022:
2022:
2022:
2020:
2021:
В открытом банке есть и другие типы заданий (на первообразную, физический смысл производной и условия касания), но в вариантах реальных ЕГЭ я таких задачи не нашла. Хотя это и не значит, что в будущем на ЕГЭ такого никогда не будет, так что лучше разберитесь и в них тоже. Вот примеры таких задач:
Процент выполнения
Сколько процентов пишущих экзамен решили задачу на производные в разные годы:
Сколько процентов из тех, кто решал экзамен в 2021 году, набрал в задаче хотя бы 1 балл:
Какой вывод можно сделать? Шестую задачу решает примерно 6 человек из 10 и это третья задача по потерянным баллам (в первой части). Для меня это несколько удивительно, потому что 6 задача не требует большого количества знаний и решается в одно действие. В чем же может быть причина таких результатов?
Тренировочные задания с самопроверкой
№ 6.1. На рисунке изображён график у = f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–5; 7). В какой точке отрезка [–3; 2] f(x) принимает наименьшее значение?
№ 6.2. Прямая у = 5х 4 параллельна касательной к графику функции у = х2 – 4х – 12. Найдите абсциссу точки касания.
№ 6.3. На рисунке изображён график у = f‘(х) – производной функции f(х), определённой на интервале (–5; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(х) параллельна прямой у = 2х – 4 или совпадает с ней.
№ 6.4. На рисунке изображён график у = f‘(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–7; 8). Найдите, в какой точке отрезка [–4; 4] функция принимает наибольшее значение.
№ 6.4. На рисунке изображён график у = f‘(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–7; 8). Найдите, в какой точке отрезка [–4; 4] функция принимает наибольшее значение.
№ 6.5. На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции g(х) = 4f(x) – 12 в точке x0.
