Билеты на профильный экзамен по математике с решениями и вариантами обучения для профильного экзамена по математике 2021 г

Профильная математика — один из самых сложных экзаменов для большинства выпускников, от которого зависит аттестат. Именно стоит узнать, как решается вторая часть профильной математики ЕГЭ, так как именно за нее даются баллы, необходимые для результата 85+.

Пробные и тренировочные варианты по математике профильного уровня в формате ЕГЭ 2021 из различных источников.

Тренировочные варианты ЕГЭ 2021 по математике (профиль)

Тренировочные варианты ЕГЭ 2021 по математике базового уровня

Разбор задания 13 ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Решение задания № 14 ЕГЭ по математике

Разбор задания 2 ЕГЭ математика профильный уровень

Решение задачи №19 ЕГЭ по профильной математике

Информация о генераторе вариантов:

На данный момент в базе заданий заданий (обновление было 20.09.2022) – только те, которые могут выпасть на экзамене. Варианты максимально приближены к вариантам реального ЕГЭ.

1) Прототипы из fipi.ru;2) Прототипы из os.fipi.ru;3) Прототипы с реальных ЕГЭ всех лет;4) Прототипы с mathege.ru.    На каждую позицию рандомно выпадает случайное задание из базы .

Описание каждой из позиций №1–18:

Задание 1. – все 160 прототипов темы, выпадающие на ЕГЭ. Задание 2. – все 183 прототипа темы, выпадающие на ЕГЭ. Задание 3. Начала теории вероятностей – все 40 прототипов темы, выпадающие на ЕГЭ. Задание 4. Вероятности сложных событий – все 37 прототипов темы, выпадающие на ЕГЭ.  Задание 5. – все 38 прототипов темы, выпадающие на ЕГЭ.• Задание 6. Вычисления и преобразования – на данный момент 10 прототипов. Задание 7. Производная и первообразная – все 44 прототипа темы, выпадающие на ЕГЭ. Задание 8. Задачи с прикладным содержанием – все 71 прототип темы, выпадающие на ЕГЭ. Задание 9. – все 93 прототипа темы, выпадающие на ЕГЭ. Задание 10. Функции и их свойства – все 54 прототипа темы, выпадающие на ЕГЭ. Задание 11. Наибольшее и наименьшее значение функции – все 54 прототипа темы, выпадающие на ЕГЭ.    Условия прототипов заданий первой части взяты у Евгения Пифагора из его видеокурса: «1–11 задания ЕГЭ профиль (первая часть с нуля)».

• Задание 12. Уравнения – на данный момент 10 прототипов.• Задание 13. Стереометрическая задача – на данный момент 4 прототипа.• Задание 14. Неравенства – на данный момент 10 прототипов.• Задание 15. Финансовая математика – на данный момент 9 прототипов.• Задание 16. Планиметрическая задача – на данный момент 4 прототипа.• Задание 17. Задача с параметром – на данный момент 7 прототипов.• Задание 18. Числа и их свойства – на данный момент 9 прототипов.

База заданий постоянно дополняется, в течение года будут добавлены все необходимые для подготовки прототипы.

Примеры заданий, тестовая часть.

Примеры заданий, развёрнутая часть.

На выполнение экзаменационной работы отводится 3 часа 55 минут.

Время выполнения варианта.

Тестовая часть проверяется автоматически, а развёрнутая часть самостоятельно вами по решениям и их критериям.

Пример критерия задания из развёрнутой части на 2 балла.

Пример задания из развёрнутой части на 4 балла.

В итоге выводится количество набранных баллов и ссылки на решения задач варианта:

Итог работы, ссылки на подробные решения всех задач.

Теги: тренировочные варианты, 11 класс, 2021, с ответами, новый вариант, профиль, пробный егэ.

1. Занимайтесь математикой регулярно. Даже если вы сдаете не профильный экзамен, а базовый. Советую выделить на это хотя бы 10-15 минут в день. Закреплять, в первую очередь, базовые умения. Новую теорию учить уже бесполезно.

3. Не спешите и не считайте в уме. Если торопиться, даже базовые арифметические навыки могут подвести. Огромное количество ошибок связано с дробями, процентами и с отрицательными числами. Особенно с отрицательными числами! Обиднее всего, когда за задачу на теорию вероятностей получаешь ноль баллов из-за простейшей вычислительной ошибки. Поэтому и при подготовке, и на самом экзамене избегайте вычислений в уме: обязательно пишите промежуточные выкладки. Как только вы совершаете два действия в уме, это сразу повышает риск ошибки.

4. Советую обратить внимание на задачи по геометрии, по теории вероятностей, и задачи с реальными статистическими данными. Например, связанными с выбором оптимального тарифного плана сотовой связи. Такие задачи придется решать каждому в жизни.

5. Решать многочисленные варианты, похожие на демоверсию — самый неэффективный способ подготовки. Повторение должно быть тематическое. И если уж прорешиваете варианты, то делайте это тематическими блоками. Делайте акцент, во-первых, на те задачи, которые получаются, и на те, которые вы точно планируете решить на экзамене. Некоторые задачи, возможно, стоит сразу заранее пропускать и особо их не разбирать.

6. Не получаются первые задачи ЕГЭ? Регулярно подводят дроби, проценты и отрицательные числа? Не надо стесняться — можно взять учебник пятого-шестого класса и повторить базу.

7. Сдать профильную математику на максимальный балл сможет далеко не каждый выпускник. Поэтому нужно реально рассчитывать свои силы. Нужно понимать, что хороший результат ЕГЭ — это не 100 баллов. А тот балл, который ты реально можешь получить, или чуть-чуть выше. Выберите несколько вузов, посмотрите, с какими баллами туда поступали в прошлом году. Прикиньте свои оценки по другим предметам — и составьте «вилку»: вот сюда я смогу поступить, если наберу, допустим, 80 баллов. А вот этот вуз будет запасным: здесь хватит и 65.

8. Используйте все возможности дистанционки. Сроки ЕГЭ сдвигаются — и это оправданная мера, потому что нужно в первую очередь заботится о здоровье ребят. Они, конечно, нервничают, — хочется уже быстрее сдать экзамены. Но теперь появилось дополнительное время. Если потратить его с умом, можно не просто получить больше баллов, но и лучше подготовиться к обучению в выбранном вузе.

По инициативе министерства просвещения открыт телеканал для подготовки к ЕГЭ «Моя школа online». На сайте Федерального института педагогических измерений (ФИПИ) размещены реальные варианты досрочного ЕГЭ 2020 года, есть даже ответы к ним для самопроверки, методические материалы. По инициативе правительства Москвы и при поддержке Рособрнадзора мы сделали цикл уроков по подготовке ЕГЭ — с разбором всех задач, автоматическими домашними заданиями от лучших педагогов, в том числе членов комиссии разработчиков ЕГЭ. Они открыты бесплатно абсолютно для всех школьников на сайте московского Центра педагогического мастерства.

Для родителей будущих выпускников

— Наши исследования показывают, что огромное количество проблем в математике — это проблемы, которые накопились у ребенка уже к пятому-шестому классу. Те же дроби дети начинают изучать еще в началке, и продолжают делать на них ошибки даже в одиннадцатом классе.

И проблема не в том, что такие ребята не способны к математике. Когда ты учишься, ты делаешь ошибки, не все получается с первого раза, это совершенно естественно. Но важно, чтобы учитель эти проблемы вовремя заметил и постарался решить их вместе с ребенком, а не просто поставил «троечку». В последнем случае проблемы накапливаются как снежный ком, и уже в средних и старших классах уроки математики фактически проходят зря.

Мы очень рады, что в последние годы и родители и школьники стали понимать: экзамен по математике — это не скучная «обязаловка», а инструмент, который готовит ребят к реальным задачам, с которыми они столкнутся в жизни. Базовый ЕГЭ по математике — на обычном, бытовом уровне. Профильный — позволяет человеку показать, что он готов обучаться в вузе.

Реальные варианты ЕГЭ 2015

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Пёс Барбос пробежал за . Найдите его среднюю скорость. Ответ дайте в километрах в час.

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших в Кирове с по декабря года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – количество осадков, выпавших в соответствующий день (в мм). Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа в Кирове впервые выпало осадков.

По рисунку видно, что в Кирове впервые выпало осадков числа.

Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

Абонент надеется, что общая длительность разговоров составит в месяц, и исходя из этого выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если общая длительность разговоров действительно будет равна ?

По тарифному плану “Безусловный” обойдутся в (2,5cdot 180 = 450 руб).По тарифному плану “Безнадёжный” обойдутся в (140 + (180 — 60)cdot 2 = 380 руб).По тарифному плану “Безлимит” обойдутся в .

Наиболее выгодный план – “Безлимит”. Ответ: .

На клетчатой бумаге с размером клетки изображён угол. Найдите косинус этого угла.

Арья и Санса играют в шахматы. Играя белыми, Арья выигрывает с вероятностью . Играя чёрными, Арья выигрывает с вероятностью . Арья и Санса играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что Арья выиграет оба раза.

Так как Арья один раз играет белыми и один раз играет чёрными фигурами, то вероятность того, что она выиграет оба раза, равна (0,38cdot 0,4 = 0,152).

Периметр прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, равен , а одна из её боковых сторон равна . Найдите радиус вписанной окружности.

Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны, тогда сумма боковых сторон данной трапеции равна сумме оснований и равна (25 : 2 = 12,5).

Так как одна из боковых сторон равна , то другая боковая сторона равна (12,5 — 7 = 5,5). Кроме того, меньшая из боковых сторон равна диаметру вписанной окружности, следовательно, радиус данной вписанной окружности равен (0,5cdot 5,5 = 2,75).

На рисунке изображён график функции (y = f(x)). На оси абсцисс отмечены семь точек: , , , , , , . В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Производная отрицательна там, где функция убывает. В данном случае, (f'(x) < 0) в точках , , , то есть в трёх точках.

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду как на рисунке

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна . Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Рассмотрим призму как на рисунке

В лаборатории смешали -процентный и -процентный растворы кислоты, и добавив чистой воды, получили -процентный раствор кислоты. Если бы вместо воды добавили -процентного раствора той же кислоты, то получили бы -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов -процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть -процентного раствора было , а

а) ОДЗ: – произвольный.

По формуле синуса двойного угла:

– куб. На ребре отмечена точка так, что (KB : KB_1 = 3 : 1). Через точки и проведена плоскость , параллельная прямой .

а) Докажите, что (C_1M : MB_1 = 2 : 1), где – точка пересечения плоскости с ребром .

б) Найдите угол между плоскостями и .

а) Рассмотрим треугольник . Пусть – точка на такая, что . Плоскость проходит через точку , так как и проходит через точку , а .

б) Опустим из точки перпендикуляр на . Так как , то – проекция на плоскость и – искомый.

Решим на ОДЗ. Сделаем замену (t = log_6(36 —
x^2)):

По методу интервалов:

откуда (t leqslant 1) или .

Окружность с центром построена на боковой стороне равнобедренной трапеции как на диаметре. Эта окружность касается стороны и второй раз пересекает большее основание в точке . Точка – середина .

а) Докажите, что – параллелограмм.

б) Найдите , если (angle BAD = 75^circ) и (BC = 4).

а) (ON = OA) – как радиусы. Так как трапеция равнобедренная, то (MD = OA = ON).

Так как (OA = ON), то (angle OAN = angle ONA), но (angle OAN =
angle MDA), следовательно, (angle ONA = angle MDA), тогда .

В итоге стороны и четырёхугольника параллельны и равны, следовательно, – параллелограмм.

Компании N принадлежат две шахты в разных городах. В шахтах добываются абсолютно одинаковые минералы, но в шахте, расположенной в первом городе, используется более современное оборудование. В результате, если рабочие первой шахты трудятся суммарно часов в день, то за день они добывают единиц минералов, а рабочие второй шахты за те же часов в день добывают единиц минералов. За каждый час работы компания платит каждому своему рабочему по рублей. Компания готова выделять (1, 000, 000) рублей в день на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц минералов можно добыть за день на этих двух шахтах?

Критические точки функции – это внутренние точки её области определения, в которых её производная равна или не определена. (S'(x) = 0) при (x = 80).

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения

имеет ровно одно решение.

При у данного уравнения два различных решения. По условию необходимо и достаточно, чтобы среди этих решений ровно одно попало на интервал .

1) Пусть (-4 < a — 1 < 3), тогда (-3 < a < 4), следовательно, (-1,5 < 0,5a < 2), то есть тогда и второе решение попадает в этот интервал, что не подходит по условию.

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной . В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число заменили на число ).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

а) Увеличение суммы в раза равносильно тому, что новая сумма равна (330cdot 4 = 1320), что равносильно (10cdot B + A = 1320). Рассмотрим систему

вычитая из второго уравнения первое, находим, что (9cdot B — 9cdot
A = 990), откуда (B = 110 + A). Подставляя это в первое уравнение системы, находим (A = 20), тогда (B = 130).

б) Увеличение суммы в раза равносильно тому, что новая сумма равна (330cdot 2 = 660), что равносильно (10cdot B + A = 660). Рассмотрим систему

вычитая из второго уравнения первое, находим, что (9cdot B — 9cdot
A = 330), но не делится на , следовательно, такой случай не возможен.

в) Пусть сумма полученных чисел равна , что равносильно системе

Так как (B < 170), то (10s < 170), то есть .

При (s = 16) получим (A = 17), (B = 160), но даже (17cdot 9 = 153 < B), а количество чисел не может быть больше, чем (17 (= A)), следовательно, .

При (s = 15) получим (A = 18), (B = 150)

Аналогично примеру из пункта а) построим решение:

а) (14 imes 19 + 64), где запись означает сумму из слагаемых, каждое из которых равно

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

аспирантка механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова,

преподаватель математики учебного центра Challenge

Задание № 9

Выполнить вычисления и преобразования.

Особенности

Это задача на вычисление значения числового или буквенного выражения. Здесь достаточно уметь выполнять действия с числами и знать определение и простейшие свойства степеней с рациональным показателем, тригонометрических функций, корней n-степени и логарифмов.

Советы

Нужно знать базовые формулы и уметь их применять.

Задание № 10

Решить задачу с прикладным содержанием.

Здесь предлагаются задачи прикладного характера, связанные с такими областями науки, как физика, химия, биология. В этом задании можно встретить все типы уравнений и неравенств: линейные, квадратные, степенные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические. Ваша задача — выразить требуемую величину из заданной формулы.

Внимательно читайте условие и старайтесь его понять. Следите, чтобы единицы измерения были приведены к одному виду. Выражайте ту или иную переменную в общем виде и только потом подставляйте числовые значения. Не спешите считать в лоб, пробуйте сокращать.

Задание № 11

Решить текстовую задачу.

Всего существует шесть типов текстовых задач. Они могут быть на движение, на совместную работу, на проценты, на смеси, растворы и сплавы, на прогрессии, на оптимальный выбор и целые числа. Соответственно, нужно знать основные законы и формулы для каждого типа. Традиционная текстовая задача сводится к составлению уравнения и его решению.

Обратите внимание, что формулы в задачах на движение и на работу очень похожи. Производительность — это аналог скорости. Для задач на смеси и растворы не забывайте формулу концентрации. В качестве неизвестной выбирайте искомую величину. Составленное уравнение будет рациональным и в основном сводится к линейному или квадратному.

Задание № 12

Найти наибольшее или наименьшее значение функции.

Здесь требуется уметь находить производную функции, а также исследовать функцию с помощью производной. Вопрос может быть двух типов: найти точку минимума/максимума функции или найти наибольшее/наименьшее значение функции. Многие школьники не различают этих понятий, а ведь ответ будет совершенно разный. Еще в этом задании мы сталкиваемся с задачей нахождения минимума/максимума на отрезке или на всей действительной прямой. Если вас ограничивают отрезком, то не забывайте находить значения на его концах и сравнивать их с локальными минимумами/максимумами функции на отрезке.

Выучите базовую таблицу производных, а также формулы производной произведения, частного и композиции функций. Помните, что если производная положительна, то функция растет, если производная отрицательна — функция убывает. Когда производная меняет свой знак с плюса на минус, это значит, что мы попали в точку максимума. Если производная поменяла свой знак с минуса на плюс, значит, мы попали в точку минимума.

Задание № 13

Решить тригонометрическое, рациональное, показательное, логарифмическое уравнение, уравнение с радикалом или смешанное уравнение, содержащее одновременно логарифмы, модули, радикалы.

Для решения любого уравнения существует два основных правила. Во-первых, решение всегда должно начинаться с нахождения ОДЗ — области допустимых значений, то есть всех значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Во-вторых, нужно помнить основные методы решения уравнений и уметь применять их. Как правило, решение данной задачи требует замены, позволяющей свести уравнение к квадратному.

Для решения тригонометрических уравнений важно знать формулы приведения и знаки тригонометрических функций на четвертях окружности. Формулы приведения позволяют упростить вычисления, привести сложные аргументы тригонометрических функций к аргументам первой четверти. Помните про мнемоническое правило («правило лошади»), которое позволит вам не заучивать все многообразие формул приведения: если вы откладываете угол от вертикальной оси, то «лошадь говорит вам „да“», то есть кивает головой вдоль оси ординат, тем самым вы меняете функцию. Если вы откладываете угол от горизонтальной оси, то «лошадь говорит вам „нет“», то есть кивает головой вдоль оси абсцисс, следовательно, приводимая функция не меняет своего названия (не забудьте про знак, он совпадает со знаком исходной функции!).

Задание № 14

Решить стереометрическую задачу.

Это задача на построение сечения многогранника и нахождение его площади, а также на нахождение расстояний и углов в пространстве, нахождение объемов различных многогранников и круглых тел (цилиндр, конус, шар). Здесь нужно хорошо владеть формулировками аксиом и определений, уметь формулировать и доказывать теоремы, признаки, свойства, знать формулы площадей и объемов. Также в этом задании нужно понимать, что такое угол между прямыми, угол между скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью и угол между плоскостями (вспомните, что такое линейный угол двугранного угла).

В этой задаче, как правило, два пункта. В первом пункте нужно либо что-то построить, либо доказать. Для доказательства очень часто используются признаки подобия треугольников и теорема Фалеса. Во втором пункте нужно найти угол, расстояние или площадь. Вспомните основные формулы расстояний: расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя плоскостями. Вы должны знать основные тригонометрические функции, теорему синусов и косинусов, теорему Пифагора и теорему о трех перпендикулярах. Нужно уметь проводить дополнительные построения и владеть координатным и векторным методами.

Задание № 15

Решить тригонометрическое, рациональное, показательное, логарифмическое (в том числе с переменным основанием) неравенство, неравенство с радикалом, смешанное неравенство, содержащее одновременно логарифмы, модули, радикалы.

Здесь необходимо свести сложное неравенство к простейшему. Часто для этого используются замены показательных и тригонометрических функций (не забывайте про ограничения!). Также нужно знать метод интервалов и метод рационализации для логарифмических, показательных неравенств и неравенств, содержащих модуль.

Метод решения логарифмических неравенств опирается на монотонность логарифмической функции. Помните, что если у логарифма переменное основание, то нужно рассматривать два случая: а) основание лежит в диапазоне от 0 до 1 (функция убывает), б) основание больше единицы (функция возрастает). Если основание переменное, то можно избавиться от перебора случаев, перейдя к новому, постоянному основанию.

В логарифмических неравенствах внимательно следите за областью допустимых значений, применяя формулы действий с логарифмами, она может как расширяться, так и сужаться. И если первую ситуацию легко исправить, то вторая приведет к потере решений, что недопустимо.

Задание № 16

Решить планиметрическую задачу.

Под этим номером может быть два варианта задания. Первый вариант: в задаче два пункта — а и b. В пункте a требуется что-то доказать, в пункте b — что-то найти. Могу сказать, что чаще всего надо начинать решать эту задачу именно с пункта b, а уже решение этого пункта поможет доказать пункт а. Как правило, абитуриентам проще что-то найти, чем доказать.

Второй вариант: задача без подпунктов. Здесь чаще всего скрыт подводный камень: задача требует рассмотрения двух случаев и приводит к двум разным ответам. Например, в условии задачи сказано, что окружности касаются в точке A, но не сказано каким образом, внешним или внутренним. Часто бывает так, что выпускник рисует один рисунок и возможно даже находит правильный ответ. А второй случай он не рассматривает, в результате чего получает ровно половину баллов за это задание.

Необходимое условие для решения этой задачи — хорошее владение теоретическим материалом, например, из классического учебника по геометрии для 7-9 классов (Л.С. Атанасян). Необходимо знать формулировки аксиом и определений, уметь формулировать и доказывать теоремы, признаки, свойства и формулы. Изучите дополнительные методы: метод дополнительного построения, метод подобия, метод замены, метод введения вспомогательного неизвестного, метод удвоения медианы, метод вспомогательной окружности, метод площадей.

Также здесь важен рисунок. 80% успеха геометрической задачи — это правильно нарисованный рисунок. Сделайте большой, хороший, наглядный рисунок, не экономьте на нем место.

И последнее, лайфхак для абитуриента — для решения задач по планиметрии выучите пять формул площади треугольника: через высоту и основание, через две стороны и угол между ними, через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формулу Герона.

Задание № 17

Решить текстовую задачу преимущественно экономического содержания на кредиты, вклады и оптимальный выбор.

Задача на злобу дня, которая появилась на ЕГЭ только в последние годы. Задания на банковские проценты могут быть двух типов: задачи на проценты по вкладам (депозитам) и задачи на проценты по кредитам. Помимо них под этим номером на ЕГЭ могут дать задачу на оптимизацию производства товаров и услуг, в которой необходимо будет либо использовать графическую интерпретацию, либо решать аналитически с помощью производной, чтобы понять, как минимизировать расходы или максимизировать прибыль.

Внимательно читайте условие задачи, вникайте в процедуры выдачи кредита или открытия вклада, которые там описываются. Каждый пункт условия сразу переводите в уравнение. Таким образом вы получите уравнение или систему уравнений, которые вам останется только решить. Чтоб подготовиться, изучите основные схемы кредитования с дифференцированными и аннуитетными платежами. В задачах оптимизации нужно уметь работать с линейными/нелинейными целевыми функциями с целочисленными/нецелочисленными точками экстремумов.

Задание № 18

Решить уравнение или неравенство с параметрами, систему уравнений или неравенств с параметрами.

Эти задачи сложно классифицировать и дать общий алгоритм решения, поскольку каждая из них является нестандартной, но можно изучить основные приемы и методы. Не забывайте про особенности функций: монотонность, непрерывность, четность/нечетность, ограниченность, инвариантность и т. д. Для того чтобы осилить задачу с параметром, необходимо произвести несложные, но последовательные рассуждения и составить логическую схему решения. Самое главное в этом задании — логика.

Чтобы подготовиться к заданиям с параметрами, я рекомендую решать задачи из учебников С.А. Шестакова «Задачи с параметрами», А.И. Козко и В.Г. Чирского «Задачи с параметрами для абитуриентов». Также хочется дать лайфхак для уравнений с двумя неизвестными: как правило, там спрятана геометрическая фигура, построй ее и получишь честное графическое решение.

Задание № 19

Решить задачу на числа и их свойства.

Это самая сложная задача экзамена, олимпиадного уровня, она оценивается в четыре первичных балла. Тем не менее материал для ее решения школьники проходят еще в 6-8 классе. Задание требует хорошего логического мышления и математической культуры.

Повторите основные признаки делимости целых чисел, вспомните понятия «НОК/НОД», выучите формулы арифметической и геометрической прогрессии. «Прорешайте» типовые задания из сборника Г.И. Вольфсона и М.Я. Пратусевича «Арифметика и алгебра». Последние два задания (№ 18 и № 19) — это прямая заявка на 100 баллов.

Подборка ссылок на страницы с контрольно-измерительными материалами и отдельными заданиями с реального ЕГЭ-2015.

1) Тексты с досрочного ЕГЭ 2015

3) По одному варианту с досрочного ЕГЭ-2015 по всем предметам

4) 1 вариант базового уровня по математике с основной волны.

5) 1 вариант профильного уровня по математике с основной волны.

По возможности ссылки на задания будут добавляться. Публикация только после прошедших экзаменов!

Демонстрационная версия ЕГЭ—2015 по математике. Профильный уровень.

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Версия для печати и копирования в MS Word

Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?

На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали  — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько месяцев из данного периода средняя температура была больше 18 градусов Цельсия.

Строительный подрядчик планирует купить 20 тонн облицовочного кирпича у одного из трёх поставщиков. Один кирпич весит 5 кг. Цена кирпича и условия доставки всей покупки приведены в таблице.

Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант покупки с учётом доставки?

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Найдите корень уравнения 3x − 5 = 81.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32°.

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в

раза больше первого? Ответ дайте в сантиметрах.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен

Найдите образующую конуса.

Весной катер идёт против течения реки в

раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в

раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка E лежит на диагонали BD1, причём BE  =  1.

а)  Постройте сечение призмы плоскостью A1C1E.

б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй  — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а)  Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.

а)  Сколько чисел написано на доске?

б)  Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в)  Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.

Демоверсия ЕГЭ 2015

Демоверсия базового ЕГЭ по математике 2015

Демоверсия профильного ЕГЭ по математике 2015

Апробация КИМ ЕГЭ, базовый уровень (октябрь 2014)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Диагностическая работа по математике (январь 2015)

профильный уровень (с критериями)

Тренировочная работа по математике апрель 2015

профильный уровень (задания 15-21)

Диагностическая работа по математике апрель 2015

профильный уровень, разбор на сайте 1-20, 15-21 (критерии)

По математике (4 июня 2015)

Демо версия ОГЭ 2015

ОГЭ от 27 мая 2015 г.

ОГЭ по математике

Традиционно Александр Ларин предоставляет на ознакомление типичный вариант реального ЕГЭ по математике в 2015 году.

Ответы на вариант предлагает соотнести в комментариях ниже.

Напомним, что ЕГЭ 2015 по математике проходил 4 июня 2015 года.

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.

можно ли узнать ответы, что бы сопоставить с моими?

где ответы? как мне теперь понять правильно я всё сделала или нет ?

хотелось бы видеть ответы к варианту и решения ко второй части

Хотелось бы проверить правильность моего решения и увидеть верные ответы

Можно ли узнать ответы?

ЕГЭ 2015 Демонстрационный вариант

Профильный уровень
Условия задач с ответами и решениями

1. Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?

2. На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько месяцев из данного периода средняя температура была больше 18 градусов Цельсия.

3. Строительный подрядчик планирует купить 15 тонн облицовочного кирпича у одного из трёх поставщиков. Один кирпич весит 5 кг. Цена кирпича и условия доставки всей покупки приведены в таблице.  Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант покупки с учётом доставки?

4.  Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в см2.

5.  В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

6. Найдите корень уравнения

7. Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32o. Ответ дайте в градусах.

8. На рисунке изображен график дифференцируемой функции . На оси абсцисс отмечены девять точек: . Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции  отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

9. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого? Ответ выразите в см.

10. Найдите , если и

11. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением ,где c = 1500 м/с — скорость звука в воде; f0— частота испускаемого сигнала (в МГц); f — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту (в МГц) отражённого сигнала, если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.

12. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром снования конуса. Радиус сферы равен . Найдите образующую конуса.

13. Весной катер идёт против течения реки в   раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в  раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

14. Найдите точку максимума функции

15. а) Решите уравнение ; б) Найдите все корни этого уравнения принадлежащие промежутку

16. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка Е лежит на диагонали BD1, причем BE равно 1. a) Постройте сечение призмы плоскостью A1C1E. б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью АВС.

17. Решите неравенство

18. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C. а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны. б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

19. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

20. Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1.

21.  На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8. а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

смотрите еще Репетиционное ЕГЭ 2015 11 класс

1. 8
2. 4
3. 54000
4. 12
5. 0,92
6. 9
7. 64
8. 3
9. 4
10. -0,8
11. 751
12. 20
13. 1.875 км/ч
14. -5
15. а);  б)
16. arctg 
17. (1;2), (2;10)
18. 3,2
19. 3 993 000 рублей
20. 
21. а) 44; б) отрицательных; в) 17

Серия «ЕГЭ. ФИПИ — школе» подготовлена разработчиками контрольных измерительных материалов (КИМ) единого государственного экзамена. В сборнике представлены: • 36 типовых экзаменационных вариантов, составленных в соответствии с проектом демоверсии КИМ ЕГЭ 2015 года; • инструкция по выполнению экзаменационной работы; ответы ко всем заданиям; • решения и критерии оценивания заданий 15-21. Выполнение заданий типовых экзаменационных вариантов предоставляет обучающимся возможность самостоятельно подготовиться к государственной итоговой аттестации, а также объективно оценить уровень своей подготовки. Учителя могут использовать типовые экзаменационные варианты для организации контроля результатов освоения школьниками образовательных программ среднего общего образования и интенсивной подготовки обучающихся к ЕГЭ.

Выпускники 2015 года будут сдавать на выбор два экзамена по математике — один базовый, который влияет на оценку в аттестате, и второй — профильный, сдав который появится возможность поступать в ВУЗ.

Профильный уровень необходим для поступления в ВУЗ. Если же ученик намерен поступать в заведение, в котором одним из вступительных экзаменов является математика, ему необходимо сдать профильный ЕГЭ по математике. На таком экзамене проверяется умение решать неравенства и уравнения, выполнять различные действия с функциями и фигурами, строить математические модели и исследовать их. Профильный ЕГЭ по математике оценивается по 100-бальной системе. Он состоит из двух частей

Для обеспечения права на объективное оценивание участникам ЕГЭ предоставляется право подать в письменной форме апелляцию:

При рассмотрении апелляций может присутствовать участник ЕГЭ и(или) его законные представители, а также общественные наблюдатели.

Критерии оценивания

Вторая часть профильной математики ЕГЭ весит 24 первичных балла из 32 возможных:

Для получения балла за № 9-12 необходимо записать правильный ответ в бланк, решение номера не рассматривается, однако по сложности это все же вторая часть профильной математики ЕГЭ.

В №13 балл могут дать за написание верного ответа или верного хода решения при неверном ответе.

В №14 балл дадут за решение одного из двух пунктов.

В №15 балл дадут за вычислительную ошибку или неверное исключение точки.

В №16 можно получить баллы за решение одного из пунктов: более сложного (2 балла) или более простого (1 балл).

В №17 баллы дают за верную математическую модель: два — за доведенное до конца решение с вычислительной ошибкой или недостаточным обоснованием, один — за не доведенное до конца решение.

В №18 три балла можно получить, если назвать два верных решения (и два неверных или недостаточно их обосновать), два балла за одно верное решение и один балл за верный ход мысли.

В №19 три балла дадут за три верных ответа, два — за два, один — за один (с обоснованием, если решение легкое).

Самостоятельная подготовка к экзамену

К экзамену можно подготовиться самостоятельно с помощью методических пособий и интернет-источников. Мы составили список самого главного.

Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике

Внимание: в некоторых пособиях осталась старая нумерация заданий: рекомендуются именно эти, так как новые ещё не выпустили.

«Как сдать ЕГЭ по математике».

Как решать вторую часть ЕГЭ по профильной математике

Вторая часть профильной математики ЕГЭ требует углубленных знаний в области дисциплины. При этом, каждый номер направлен на отработку каких-то конкретных знаний и навыков. Поэтому готовиться стоит к каждому номеру отдельно.

Задание 9

Задание №9 — это проверка простейших вычислений, для которых необходимо знать свойства логарифмов, тригонометрических функций, корней и степеней. Чтобы решить этот номер, можно воспользоваться приложенным к КИМ списком формул. Заранее стоит научиться выводить из них другие полезные формулы, это избавит от лишнего заучивания и поможет подготовиться к решению более сложных задач.

Задание 10

Вторая часть профильной математики ЕГЭ включает также задачу прикладного характера с формулой для ее решения. Нужно проследить, чтобы все значения измерялись однотипно (все время в секундах, например), а переменные представлялись в общем виде. Также лучше попробовать сократить выражение, если это возможно: так можно исключить вычислительную ошибку при подставлении.

Обязательно следует перепроверять свое решение.

Задание 11

В №11 может встретиться задача на один из шести типов. Решение любой из этих типов задач начинается с составления уравнения: искомая величина — Х. Оно чаще всего выходит линейным или квадратным. Для составления уравнения стоит пользоваться основными формулами: пути, работы и концентрации.

Задание 12

Для подготовки к заданию на точки экстремумов необходимо изучить таблицу основных производных и их графики, а также их свойства. Помимо этого, стоит попрактиковаться в нахождении нулей производных. Они помогут определить все точки экстремумов, из которых можно будет найти наибольшее и наименьшее значения функций.

Задание 13

Задание № 13, с которого начинается настоящая (с проверкой решения) вторая часть профильной математики ЕГЭ, проверяет умение выпускников ориентироваться  в тригонометрии. Чтобы выполнить этот номер на максимум, необходимо, во-первых, найти ОДЗ, а  во-вторых, с ее учетом решить полученное уравнение. Для этого может пригодится огромное количество формул и свойств, запомнить которые поможет мнемотехника. Так, одним из полезный упражнений на запоминание будет правило лошади: если она качает головой по вертикали, получается кивок — «да», поэтому вдоль оси ординат функция меняется; а вот качание головой по горизонтали, это «нет», функция не меняется.

Задание 14

№14 содержит два задания: на доказательство и вычисление. С первым могут помочь теорема Фалеса и подобие треугольников, а в последнем очень выручают теоремы синусов и косинусов, Пифагора, о трех перпендикулярах и тригонометрические функции в частности.

Задание 15

При решении важно помнить про методы интервалов и рационализации, правила замены тригонометрических функций.

Задание 16

Лучше запомнить все теоремы, свойства и аксиомы, связанные с треугольниками, так как они содержатся в любой фигуре и, соответственно, будут полезны при решении любого номера, который содержит вторая часть профильной математики ЕГЭ. Также особое внимание в №16 следует уделить рисунку: он должен быть наглядным, содержать необходимые пометки. Это поможет в решении любой задачи по планиметрии.

Задание 17

Вторая часть профильной математики ЕГЭ под видом №17 может предложить три типа задач:

Для их решения следует постепенно преобразовывать каждое условие задачи в уравнение или его часть. При подготовке следует заранее ознакомиться со схемами кредитования (дифференцированные и аннуитетные платежи), к задаче на оптимизацию нужно будет попрактиковаться в работе с целевыми функциями с точками экстремумов.

Задание 18

Этот номер проверяет умение мыслить логически и составлять схему рассуждений. Каждая из задач под этим номером нестандартна, поэтому помочь в их решении может только регулярная практика по вариантам прошлых лет. Однако стоит отметить, что в задании допустимо и графическое решение: так, в уравнениях с двумя переменными часто прячутся фигуры, которые могут оказаться ответом на задание.

Задание 19

№19 — последний, который включает вторая часть профильной математики ЕГЭ. Это задание олимпиадного уровня, поэтому оно требует нестандартного мышления. Для подготовки к нему можно изучить признаки делимости чисел (четное окончание как признак деления на «2» — это недостаточно для экзамена), а также формулы арифметической и геометрической прогрессий. Отлично помогут также решение заданий из вариантов прошлых лет, разборы олимпиадных заданий похожего типа.

Таким образом, видно, что вторая часть профильной математики ЕГЭ — это действительно сложные задачи, решить которые под силу не каждому выпускнику. Поэтому для того, чтобы сдать экзамен на 85+ баллов, необходимо усердно готовиться.

Особенности ЕГЭ по математике

ЕГЭ по математике можно сдать на двух уровнях: базовом и профильном. В первом 21 задание, в которых не нужны развёрнутые решения, — достаточно правильно записать ответ в графу. Один верный ответ — 1 балл. На выполнение заданий даётся три часа. Этого хватит, чтобы всё решить, перепроверить и аккуратно перенести в бланк ответов.

ЕГЭ по профильной математике содержит 18 заданий, на которые даётся 3 часа 55 минут (235 минут). В первой части школьникам нужно выполнить 11 заданий с кратким ответом, во второй — 7 заданий. Вопросы с кратким ответом в первой части ЕГЭ предполагают запись в бланке ответов целого числа или конечной десятичной дроби. Задания с развёрнутым ответом во второй части ЕГЭ должны содержать полную запись решения с обоснованием.

Изначально все задания оцениваются в первичных баллах, за каждый из которых можно получить от 1 до 4 баллов в зависимости от уровня сложности. Всего можно набрать 31 первичный балл. После экзамена они переводятся в тестовые по 100-балльной шкале.

Что из себя представляет вторая часть в 2021

В 2021 году вторая часть профильной математики ЕГЭ состоит из одиннадцати номеров (четыре с кратким ответом, семь — с развернутым). Для их решения необходимо приобрести определенные знания и навыки:

Хочу поступить в лучший вуз

Расскажем, как подготовиться к ЕГЭ по математике и русскому. Вас ждут два чек-листа по основным предметам!

Ой! Что-то пошло не так. Попробуйте еще раз

Как подготовиться к профильной математике

Вы должны чётко понимать, для чего сдаёте ЕГЭ и какой балл хотите получить. Если в выбранный вуз достаточно 70 баллов и есть тема, которая западает, не тратьте на неё время. Например, вы совершенно не понимаете стереометрию. Не останавливайтесь на ней. Лучше поймите, какие задачи вы точно сможете решить, и прокачивайте сильные стороны. На 70–75 баллов не нужно уметь решать всё.

Систематизируйте для себя и выучите важные формулы и теоремы

Будет лучше, если вы разместите их рядом с рабочим местом. Выучить сразу все формулы и теоремы нереально: лучше всего они запоминаются на практике. Поэтому важно систематически решать варианты ЕГЭ.

Отработайте первую часть

Если вы рассчитываете сдать экзамен на 90 и более баллов, тренируйтесь решать тестовую часть за 20–30 минут. Засекайте время по таймеру и упражняйтесь с вариантами. Сильные школьники порой спотыкаются на первых 11 задачах, потому что привыкли решать что-то более содержательное.

Сосредоточьтесь на сложных заданиях

Выберите свой топ заданий и отработайте их. Но время от времени обязательно возвращайтесь к тестовой части ЕГЭ.

Не бойтесь сложных заданий — 17 (задача с параметром) и 18 (задача по теории чисел)

Некоторые школьные учителя говорят, что эти задания слишком сложные, и не обсуждают их в классе. Главное — понять, что все задачи посильны. Кроме того, в этих заданиях можно достаточно легко получить частичный балл (1–2).

Займитесь таймингом

Когда вы уже достаточно хорошо решаете задания из запланированного вами списка, учитесь укладываться в отведённые временные рамки.

Не забывайте про правильное оформление во второй части

Каждый шаг решения задачи второй части ЕГЭ должен быть обоснован, и тогда решение будет оценено максимальным количеством баллов.