Задание 17. Задача с параметрами — профильный ЕГЭ по математике

17 (С6) Параметры*

Показана страница 1 из 232

Уравнения с параметром. Задача 18 (С6)

Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида:
$$p(a)x-q(a)=0,$$
где (p(a)) и (q(a))- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все (x) при всех значениях параметра (a). Приведем наше уравнение к виду:
$$p(a)x=q(a),$$
Отсюда единственное решение:

Если же (p(a)=0) и (q(a)=0), то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда (p(a)=0),а (q(a)≠0), то уравнение не имеет решений.
Замечу, что по некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с (x) в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились.
Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров:

Решить уравнение (ax-5a=7x-3) при всех возможных (a).

Найдите все (a), при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число.

Из ОДЗ видно, что (5a+x≠0) и (x-5a≠0,) таким образом, (x≠±5a.)
Приведем уравнение к общему знаменателю (x^2-25a^2) и умножим на него все уравнение:
$$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2=-100a^2$$
$$-15ax=-75a^2$$
$$ax=5a^2.$$

После преобразований получили линейное уравнение.

Первый случай: (a=0.) Получаем уравнение (0*x=0.) Решениями этого уравнения будет любое число, кроме (x=0) (ОДЗ (x≠±5a)).

Ответ: При (a=0) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме (x=0.) Если (a≠0,) то решений нет.

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи с параметром из ЕГЭ прошлых лет

Задание
1

Уровень задания: Равен ЕГЭ

имеет ровно четыре решения.

(ЕГЭ 2018, основная волна)

Второе уравнение системы можно переписать в виде . Следовательно, рассмотрим два случая: когда и когда . Тогда количество решений системы будет равно сумме количества решений в первом и во втором случаях.

Необходимо проверить, не совпадают ли решения в первом случае с решениями во втором случае.

Учитывая все это, в ответ пойдут:

Задание
2

имеет единственное решение.

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018)

(будем называть “левую” область областью I, “правую” область – областью II)
Заметим, что при каждом фиксированном графиком является парабола, вершина которой находится в точке , а ветви обращены либо вверх, либо вниз. Если , то уравнение выглядит как и графиком является прямая, совпадающая с осью абсцисс.
Заметим, что для того, чтобы исходная система имела единственное решение, нужно, чтобы график имел ровно одну общую точку с областью I или с областью II (это значит, что график должен иметь единственную общую точку с границей одной из этих областей).

Рассмотрим по отдельности несколько случаев.

1) . Тогда ветви параболы обращены вверх. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола касалась границы области I или границы области II, то есть касалась параболы , причем абсцисса точки касания должна быть или (то есть парабола должна коснуться границы одной из областей, которая находится выше оси абсцисс, раз парабола лежит выше оси абсцисс).

2) . Тогда и видно, что прямая имеет бесконечное множество общих точек с областью II. Следовательно, это значение параметра нам не подходит.

3) . Тогда ветви параболы обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку , причем, если парабола будет иметь еще одну общую точку с прямой , то эта общая точка должна быть “выше” точки (то есть абсцисса второй точки должна быть ).

Задание
3

имеет ровно два решения.

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018)

Задание
4

(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)

Задание
5

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Задание
6

Задание
7

имеет ровно один корень.

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Задание
8

Уровень задания: Легче ЕГЭ

при всех значениях параметра .

1) . Тогда уравнение примет вид:

Данное уравнение не имеет решений ни при каких значениях .

2) . Тогда данное уравнение равносильно системе:

Дискриминант первого уравнения . Таким образом, при всех , значит, уравнение всегда имеет два корня (может быть, совпадающих):

Рассмотрим случаи (не забывая учесть, что ):

2.1) (x_1=x_2 Rightarrow a=dfrac32). Тогда система равносильна:

Таким образом, исходное уравнение при имеет один корень .

2.2) (x_1
e x_2 Rightarrow ain
(-infty;0)cup(0;rac32)cup(rac32;+infty)). В этом случае система равносильна:

Данная система будет иметь один корень, если какой-то из или совпадет с , и два корня, если ни один из них не совпадет с .

2.2.1)Какой-то из или совпал с .

Решая уравнение , получим . Следовательно, при уравнение имеет один корень .

Решая уравнение , получим . Но в нашем случае , следовательно, .

2.2.2)Ни один из или не совпал с . Значит, при и система будет иметь два корня: .

Задание
9

В противном случае система не будет иметь решений.

Задание
10

Задание
11

Найдите все значения параметра , при которых все решения уравнения удовлетворяют неравенству .

Уравнение можно переписать в виде . Это уравнение линейного типа.

1) Если , то уравнение примет вид . Решений у такого уравнения нет. Следовательно, это значение параметра нам не подходит, так как не удовлетворяет .

Задание
12

Правую часть уравнения можно переписать в виде . Уравнение линейного типа. Рассмотрим два случая: (cos (pi q)-1=0) и (cos (pi q)-1
e 0).

(q=0; -2; pm 4; pm 6; pm 8; dots Rightarrow xin
arnothing);

Задание
13

При всех значениях параметра решите неравенство .

Данное неравенство линейного типа. Хотелось бы разделить обе части неравенства на , но мы не имеем права этого делать, пока не уверены в том, что . К тому же при делении обеих частей неравенства на число мы обязаны учитывать знак числа, чтобы определить, менять знак неравенства или нет. Поэтому рассмотрим случаи:

1) , откуда . Если , то неравенство примет вид . Это верно для любого .
Если , то неравенство примет вид . Это не верно ни для какого .

(a=1 Rightarrow xinarnothing);

(ain (0;1) Rightarrow xin left(-rac3a;+infty
ight));

(ain (-infty;0)cup(1;+infty) Rightarrow xin left(-infty;
-rac3a
ight))

Задание
14

Найдите все , при которых совпадают множества решений уравнений и .

Заметим, что оба уравнения линейного типа. Их можно переписать в виде:
;
.

Рассмотрим по отдельности случаи, когда коэффициент при равен нулю и когда он не равен нулю:

2) . Тогда первое уравнение не имеет решений, так как левая часть равна нулю, а правая – нет; второе уравнение имеет корень. Следовательно, их множества решений не совпадают.

3) . Аналогично пункту 2.

(a=-1; rac13; 2)

Задание 17 Профильного ЕГЭ по математике — это уравнение, система уравнений или неравенство с параметром. Или несколькими параметрами.

Конечно, за один день научиться решать такие задачи невозможно. И все-таки мы немного расскажем о том, как научиться решать задачи с параметрами. С чего начать. И какие вообще есть методы решения задач с параметрами.

Начнем с хорошей новости. Задача 17 (с параметром) оценивается в целых 4 первичных балла ЕГЭ, которые отлично пересчитываются в тестовые.

Если вы полны решимости получить на ЕГЭ заветные 4 первичных балла за задачу 17 (с параметром), не стоит начинать с реальных экзаменационных задач. Ведь мы хотим получить результат, а не разочарование! Поэтому сначала необходимо повторить следующие темы:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

2. Преобразование графиков функций.

3. Построение графиков функций.

4. Базовые элементы для решения задач с параметрами. Да, мы будем рисовать не только привычные функции. Но еще и окружности, ромбики, полуплоскости и всевозможные их комбинации.

5. Что такое параметр. Простые задачи с параметрами.

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому.

Потому что, кроме него, есть и другие:

— Квадратные уравнения и неравенства с параметрами.

— Задачи с параметрами. Условия касания.

— Метод оценки в задачах с параметрами.

— Использование четности функций в задачах с параметрами.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 17.

И не думайте, что это все возможные методы решения задач с параметрами. Их намного больше! Мы дали ссылки на те, которые встречаются чаще всего в задачах ЕГЭ.

Несколько мудрых советов о том, как и зачем решать задачи с параметрами.

1. Чтобы на ЕГЭ уверенно справиться с заданием 17, нужно решить не менее 50 задач с параметрами.

2. Настанет момент, когда вы увидите, что задача с параметром похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов.

3. Два самых главных секрета решения задач с параметрами. Готовы узнать? Вот они:

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — сделайте замену.

— Если задачу с параметром можно решить графически — решите графически.

4. Сколько бы вы ни занимались задачами с параметрами, каким бы отличником ни стали — всегда найдется задача, над которой вы задумаетесь. Вот такая, например:

Задача 1. При каких значениях a системы

Две системы уравнений с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одни и те же решения, или обе системы не имеют решений.

— второе уравнение имеет решение

задает окружность с центром в начале координат и радиусом

являются две точки, в которых прямая

пересекает окружность, заданную уравнением

А вот уравнение

задает семейство параллельных прямых

Мы хотим, чтобы две системы были равносильны, то есть чтобы окружность, заданная уравнением

, пересекала только одну из этого семейства прямых, а именно прямую

Меняя параметр а, мы можем менять радиус окружности. Мы хотим, чтобы окружность радиуса

не имела общих точек с прямыми, параллельными прямой

, то есть лежала ниже прямой, проходящей через точку А на рисунке, и выше прямой, проходящей через точку В.

Когда же происходит касание в точках A и B?

В случае касания радиус окружности

Значит, в случае касания

, а если

Объединяя случаи, получим, что системы равносильны, если

Легко? Если справились — вот еще одна интересная задача:

Задача 2. При каких значениях параметра a найдется такое значение параметра

, что система уравнений

имеет ровно три различных решения?

Вот решение этой задачи.

Лучше всего осваивать эту непростую тему на нашем Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов. Или на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве. Удачи, друзья!

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 17. Задача с параметрами u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Ура, параметры! Регистрируемся на стрим 10 сентября и читаем материалы на нашем сайте!Все мы знаем, что задачи 18 и 19 в варианте Профильного ЕГЭ по математике – это высший пилотаж.Каждая оценивается в 4 первичных балла (8-9 тестовых). Сегодня поговорим о параметрах.Это бесплатно. Разберем задачи с параметрами из нового сборника И. В. Ященко 2021 года!Бесплатная регистрация здесь!Что такое задачи с параметрамиВсе о задачах с параметрами – здесь.Да, такой подборки статей вы больше нигде не найдете. Смотрите, что у нас есть:1. Элементарные функции и графики.2. Преобразования графиков. Без этого задачи с параметрами не решаются.3. Множества точек на плоскости, задаваемые уравнениями. Уравнения окружности, полуокружности, круга, ромбика, полуплоскости, отрезка и других фигур. И многое другое. Это здесь.4. Графический метод. Все, что можно нарисовать, — рисуем.5. Условия касания – например, чтобы найти, при каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение.6. Для квадратных уравнений и неравенств с параметрами – свои способы решения. Например, знаете ли вы, что формулу корней квадратного уравнения в задаче 18 мы используем редко. Намного чаще пользуемся теоремой Виета.7. Если в левой и правой частях уравнения находятся функции разных типов – используем метод оценки.Это не все – это только некоторые статьи из многочисленных материалов нашего образовательного портала.Видео о том, что то такое параметр, можно прямо сейчас посмотреть на нашем YouTube-канале.А если вы хотите посмотреть, как все-таки, пользуясь всеми этими знаниями, решать задачи, — приходите на стрим 10 сентября!Онлайн-курсЕще больше информации и подходов к решению задач с параметрами — на моем онлайн-курсе. Стоимость онлайн-курса «11 класс на 100 баллов» — всего 15 600 р. 6 995 р.Стоимость онлайн-курса для преподавателей – всего 10 900 р. 5 900 р.Курс для учениковПосмотрите расписание (в конце этой страницы) Онлайн-курса на следующий год.Еще больше занятий. Новые темы. Новые задачи.Курс подготовки к ЕГЭ на 100 баллов будет включать 73 онлайн-занятия.Это все темы Профильного ЕГЭ по математике.Там есть всё. Планиметрия и стереометрия. Параметры и задача 19. Уравнения, неравенства, экономическая задача.Занятия будут проходить по субботам и воскресеньям.В субботу – более сложные темы, в воскресенье – повторение и более простые темы.Курс стоит всего 6 995 рублей. За весь год! И таких цен ни у кого нет.Курс для преподавателейМы составили новое расписание (в конце этой страницы) Онлайн-курса.Мы знаем, что среди преподавателей есть и начинающие, и очень опытные.И поэтому мы составили для учителей и репетиторов 2 учебных плана.Первый: Учебный план для начинающих. Занятия по воскресеньям + методические занятия по субботам 2 раза в месяц.Второй: Учебный план для опытных преподавателей. Занятия по субботам + методические занятия по субботам 2 раза в месяц.При покупке тарифа для преподавателей вы получаете доступ к обоим учебным планам и можете выбирать наиболее подходящий для вас. В вашем расписании в каждом занятии будет помечено, для кого оно – для начинающих или для опытных педагогов.В течение года пройдут специальные методические мастер-классы по всем темам Профильного ЕГЭ по математике. Расскажем о методике преподавания всех задач ЕГЭ, включая самые сложные. Например, задачи с параметрами и задачу 19 на числа и их свойства.Будут также новые темы. Вот что мы добавляем в курс для преподавателей:Знакомство с высшей математикой. Понятие предела функцииСтереометрия. Построение сеченийДоказательства в математике. Метод математической индукции.Планиметрия: необычные методы решения задачЗнакомство с высшей математикой. Комплексные числаЗнакомство с высшей математикой. Интегралы и рядыЛогика. Логические задачи, занимательные задачиДля того, чтобы на своих уроках вы не ограничивались учебником и школьной программой. Чтобы могли больше дать ученикам. Показать, для чего нужна математика.Все эти темы оказываются интересны старшеклассникам – если о них хорошо рассказать.Оплатив курс сейчас, вы получите доступ и к проведенным в 2019-2020 году занятиям, и ко всему курсу 2020-2021 года. Не пропустите. Курс для преподавателей с мега-скидкой. Стоимость сейчас – всего 10 900 р. 5 900 р.Готовьтесь к ЕГЭ с профессионалами!Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Параметры из нового Ященко!» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.Публикация обновлена:
11.05.2023

Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.

Задания по теме «Задачи с параметром»

Открытый банк заданий по теме задачи с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1227

Если y geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность phi _1 с центром в точке C_1 (4; 4) радиуса 3 , а если y то оно задаёт окружность phi _2 с центром в точке C_2 (4; -4) того же радиуса.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность phi с одной из окружностей phi _1 и phi _2 имеет 2 общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как 1 то условию задачи удовлетворяют значения ain (1;4sqrt 5-3) cup (7; 4sqrt 5+3).

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике

Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №18

И знать здесь действительно нужно много.

Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).

И после этого – учимся решать сами задачи №18 Профильного ЕГЭ.

Вот основные типы задач с параметрами:

Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова

И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:

1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.

2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.

3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.

4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.

На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 18 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!

Задание 17. Уравнения и неравенства с параметром

Существует ровно три генеральных метода решения задач 17:

Конечно, одну и ту же задачу зачастую можно решить разными способами. Но далеко не все они оптимальны: выбрав неправильный «путь», можно увязнуть в вычислениях, так и не дойдя до ответа.

Поэтому в данном разделе я рассмотрю все способы, а ваша задача — практиковаться и учиться правильно выбирать.:)

Глава 1. Графический подход § 1. Вебинар по задачам 18: модуль и окружности

§ 2. Как решать задачу 18: графический подход

§ 3. Задача 18: две окружности и модуль

§ 4. Задача 18: пересечение графиков окружности и модуля

§ 5. Новая задача 18 из пробного ЕГЭ — наглядный пример того, как эффективно работает графическое решение задач с параметром.

Глава 2. Аналитический подход § 1. Задачи 18: Аналитическое решение

§ 2. Окружность и модуль: задачи 18 с двумя параметрами

§ 3. Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантов

Глава 3. Нестандартные приемы § 1. Задача 18: метод симметричных корней

§ 2. Как увидеть симметрию корней в задаче 18?

§ 3. Метод мажорант в задаче 18

§ 4. Графическое решение сложных задач 18 с модулем

§ 5. Задание 18: Симметрия корней в системе уравнений

§ 6. Анализ знаков квадратного трёхчлена в сложных задачах 18

§ 7. Применение производной для отыскания точек пересечения графиков

§ 8. Продвинутый метод симметричных корней

§ 9. Новая задача 18 с графическим решением

Исследование уравнений/неравенств при всех значениях параметра

Исследовать уравнение/неравенство при всех значениях параметра – это значит указать, при каких значениях параметра какое именно решение имеет данное уравнение/неравенство.

1) уравнение при всех имеет единственное решение , а при не имеет решений (т.к. тогда уравнение принимает вид ).

I) обе части уравнения нельзя делить на выражение, содержащее параметр (), если это выражение может быть равно нулю. Но можно рассмотреть два случая:первый, когда , и в этом случае можно разделить обе части равенства на ;второй случай, когда , и этом случае мы можем по отдельности проверить каждое значение (см. пример 1, 2).

II) обе части неравенства нельзя делить на выражение, содержащее параметр, если неизвестен знак этого выражения. Но можно рассмотреть три случая:первый, когда , и в этом случае можно делить обе части неравенства на ;второй, когда , и в этом случае при делении обеих частей неравенства на мы обязаны поменять знак неравенства на противоположный;третий, когда , и в этом случае мы можем по отдельности проверить каждое значение .

3) неравенство при имеет решение , при имеет решение , а при не имеет решений, т.к. принимает вид .

Решите уравнение при всех значениях параметра .

Уравнение можно переписать в виде . Рассмотрим два случая:

1) . В этом случае левая часть равна , а правая – нет, следовательно, уравнение не имеет корней.

1) . В этом случае левая и правая части равны , следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной .

2) . Тогда .

Решите неравенство (a(x^2-6) geqslant (2-3a^2)x) при всех значениях параметра .

Преобразуем неравенство к виду: (ax^2+(3a^2-2)x-6a geqslant 0). Рассмотрим два случая:

1) . В этом случае неравенство становится линейным и принимает вид: (-2x geqslant 0 Rightarrow xleqslant 0).

2) . Тогда неравенство является квадратичным. Найдем дискриминант:

Преобразуем неравенство: ((a-1)(a-2)x geqslant a-2). Получили линейное неравенство. Рассмотрим случаи:

Учитывая условие (ain (-infty;1)cup (2;+infty)), получаем .

4) ((a-1)(a-2)<0 Leftrightarrow ain (1;2)). Тогда:

Определить количество корней уравнения при всех значениях параметра .

1) . Тогда уравнение является линейным: . То есть уравнение имеет один корень.

2) . Тогда уравнение является квадратным. Найдем дискриминант: .

Рассмотрим уравнение : , следовательно, уравнение не имеет корней. Значит, выражение принимает значения строго одного знака: либо всегда положительно, либо отрицательно. В данном случае оно положительно при любых (в этом можно убедиться, подставив вместо любое число).

(a
e 0 Rightarrow) два корня.

1) (a+1=0 Rightarrow a=-1). В этом случае уравнение равносильно , то есть не имеет решений.

Данная система будет иметь одно решение, если , и два решения, если :

Как показывает статистика, нахождение решения задач с параметром многие выпускники считают наиболее трудным при подготовке в ЕГЭ 2019 по математике. С чем это связано? Дело в том, что зачастую задачи с параметром требуют применения исследовательских методов решения, т. е. при вычислении правильного ответа понадобится не просто применять формулы, но и находить те параметрические значения, при которых выполнено определенное условие для корней. При этом сами корни порой искать вовсе не требуется.

Тем не менее справляться с решением заданий с параметрами должны все учащиеся, которые готовятся к сдаче ЕГЭ. Подобные задачи встречаются в аттестационном испытании регулярно.
Образовательный портал «Школково» поможет вам восполнить пробелы в знаниях и научиться быстро находить решение заданий с параметром в ЕГЭ по математике. Наши специалисты подготовили и в доступной форме изложили весь базовый теоретический и практический материал по данной теме. С порталом «Школково» решение задач на подбор параметра будет даваться вам легко и не повлечет никаких затруднений.

Основные моменты

Важно понять, что единого алгоритма решения задач на подбор параметра попросту не существует. Способы нахождения правильного ответа могут быть различными.
Решить математическую задачу с параметром в ЕГЭ — значит, найти, чему равна переменная при определенном значении параметра. Если исходное уравнение и неравенство можно упростить, это необходимо сделать в первую очередь. В некоторых задачах для этого можно использовать стандартные методы решения, как в случае, если бы параметр представлял собой обычное число.

Вы уже успели ознакомиться с теоретическим материалом по данной теме? Для окончательного усвоения информации при подготовке к ЕГЭ по математике рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий с параметром; для каждого упражнения мы представили полный разбор решения и правильный ответ. В соответствующем разделе вы найдете как простые, так и более сложные задачи.
Попрактиковаться в решении упражнений с параметрами, построенных по примеру заданий в ЕГЭ, учащиеся могут в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.

Графический метод в задачах с параметром

Данный метод используется не только в задачах с параметром, но и для решения обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я кратко напомню, в чем заключается этот метод. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.

Для начала рассмотрим уравнение с одной переменной (f(x)=0). Для того, чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции (y=f(x)). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось (х)) и будут решениями нашего уравнения.

Или рассмотрим уравнение (f(x)=g(x)). Точно так же строим на одной координатной плоскости графики функций (y=f(x)) и (y=g(x)), абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.

Стоит отдельно отметить, что для решения графическим методом необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.

Решить графическим методом уравнение (x^2+3x=5x+3).

Решение: Построим на одной координатной плоскости графики функций (y=x^2+3x) и (y=5x+3). См. рис.1.

(y=5x+3) – красный график; (y=x^2+3x) – синий график.

Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными (f(x,y)=0). Решением этого уравнения будет множество пар точек ((x,y)), которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости ((xOy)). Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую ((x,y=f(x))) или ((x=f(y),y)).

И, разумеется, будет задавать точно такие же пары решений (x) и (y).
Теперь перейдем к уравнениям с параметром. Заметим, что параметр – это обычная переменная, которая ничем не отличается от рассмотренных выше переменных (x) и (y). Поэтому, если мы вместо (y) в уравнении (1) запишем параметр (a), то суть уравнения от этого не поменяется. То есть уравнение (1) можно рассматривать относительно (x) с параметром (y) или наоборот. В дальнейшем параметр будем обозначать за (a).

График (x(a)) для этого же примера на рисунке 4.

На мой взгляд, будет более наглядно, если показывать графический метод на примерах. Поэтому, давайте разберем примеры от простых к сложным, которые могут встретиться на ЕГЭ.

Определить, при каких значениях параметра (a) уравнение (x^2-3x-2a=0) имеет: а) 2 корня; б) 1 корень; в) не имеет корней;

1 способ решения:

Приведем уравнение к виду (x^2-3x=2a). И построим графики (y=1/2*(x^2-3x)) (показан красной линией) и (y=a) (синяя линия). Обратите внимание, график (y=a) – это просто семейство прямых параллельных оси (x) в плоскости ((xOy)) (Рис. 6). Точки пересечения красной линии с семейством синих линий – это корни нашего уравнения. Если, например, (a=5), то графики (y=5) и (y=1/2*(x^2-3x)) имеют две общие точки, а значит, и два решения. При (a=-1.125) оба графика имеют только одну общую точку ((1.5;-1.125)) – это единственное решение.

2 способ решения:

Таким же образом можно решить данное уравнение, построив графики в плоскости ((xOa)). Для этого выразим (a=1/2*(x^2-3x).)

Различным значениям параметра (a) можно поставить значения искомого (x), для это проведем горизонтальные линии.

Решить уравнение: (cos^2⁡x-2 cos⁡x+a=0)

Построим в плоскости ((tOa)) график нашей функции (a=2t-t^2:)

Сделаем обратную замену:

Решить уравнение (sin^4⁡x-(a-1) sin^2⁡x-(2a+2)=0.)

Сделаем замену: (t=sin^2⁡x ) ⇔ (t^2-(a-1)t-2a-2=0;)

Таким образом, необходимо решить систему:

Построим решения данной системы на координатной плоскости ((tOa)).

Решим уравнение (t^2-3t-a=0).

Данному уравнению равносильна система:

Построим множество точек, которые удовлетворяют полученной системе:

Решить неравенство (9^x-(a-1) 3^x-a≥0)

Построим график, получившейся системы неравенств на плоскости ((tOa)).

Оранжевой областью выделено решение первого неравенства системы, синей областью – второго неравенства. Их пересечение – это решение все системы.

Наша функция будет определена при условии, что выражение под логарифмом будет больше нуля:

Как видно из рисунка 13, точка ((-1/2;-3)) – точка минимума; а ((2;2)) – точка максимума.

Найдем асимптоты. Напомню, что вертикальные асимптоты бывают только в точках разрыва, поэтому наличие вертикальной асимптоты можно проверить, взяв предел от функции в точке разрыва. В нашем случае нет точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот не будет.

Значит, есть горизонтальная асимптота (p=1).

Подробнее можно посмотреть здесь.

На рисунке 14 при помощи штриховки показаны точки, которые будут корнями системы

Преобразуем исходную систему:

Построим график полученной системы:

Обратите внимание, что (y=1), (x=0) не может быть решением системы при любых значениях параметра (a).

Найдем асимптоты (см. пример 9):

Значит (y=1) – вертикальная асимптота.

Значит горизонтальные асимптоты отсутствуют.

И проверим на наличие наклонных асимптот:

Получим уравнение наклонной асимптоты (a=-y-1).

Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Теория для решения заданий 15 по финансовой математике. Аннуитетные и дифференцированные платежи, понятие сложного процента. Основные методы решения задач на проценты.

Использование свойств функции при решении заданий с параметром из ЕГЭ по математике профильного уровня. Симметрия функций и приемы решения.

Квадратные уравнения с параметром. Умение исследовать квадратный многочлен поможет решать задачи с параметром аналитическим методом. Квадратное уравнение решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Разбор линейных уравнений с параметром. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все x при всех значениях параметра a

Решение показательных и логарифмических уравнений с параметром

Знакомимся с понятием параметра в уравнениях. Краткие рекомендации к выполнению.

Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №17.

Лучше всего начать с темы «Элементарные функции и их графики».

Повторить, что такое функция, что такое четные и нечетные функции, периодические, взаимно обратные.

Освоить преобразования графиков функций и приемы построения графиков.

И после этого – учимся решать сами задачи №17 Профильного ЕГЭ.

Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

Графический способ решения задач с параметрами

Квадратичные уравнения и неравенства с параметрами

Условия касания в задачах с параметрами

Вот пример решения и оформления задачи с параметром

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 18

На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 17 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.