Алгоритм решения задачи 17. математика: егэ, профильный уровень
Экономическая задача на кредит является единственной задачей из всего задания ЕГЭ, которая несет в себе не только дидактическую нагрузку, но и имеет важную практическую пользу. В настоящее время любой человек должен уметь самостоятельно построить график погашения кредита, и это умение относится к базовому уровню финансовой грамотности.
Приведенное ниже решение полезно еще и тем, что его методика может быть легко реализована как в простейшей таблице Excel, так и на уроках изучения языков программирования.
Условие задачи:
В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;
— выплаты в 2026 и 2027 годах равны;
— к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.
На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
Решение.
Шаг 1. Построим таблицу – график погашения долга
Начало | Начислили | Внесли | Долг уменьш. | Остаток долга | |
a | b | c | d | e | |
1 | 2022 | ||||
2 | 2023 | ||||
3 | 2024 | ||||
4 | 2025 | ||||
5 | 2026 | ||||
6 | 2027 |
Шаг 2. Заполним ячейки, значения которых нам известны из условия.
- Кредит берется в июле 2022, следовательно, e1 = 1 050 000. Ячейки b1, с1 и d1 останутся пустыми.
- В январе 2023 на эту сумму e1 будет начислено 10%, следовательно, b2 = 105 000.
- Долг на конец 2023, 2024 и 2025 года должен быть равен 1 050 000, следовательно, e2 = e3 = e4 = 1 050 000
- Естественно, b3 = b4 = b5 = 105 000
Вот что должно получиться после шага 2:
Начало | Начислили | Внесли | Долг уменьшится | Остаток долга | |
a | b | с | d | e | |
1 | 2022 | 1 050 000 | |||
2 | 2023 | 105 000 | 1 050 000 | ||
3 | 2024 | 105 000 | 1 050 000 | ||
4 | 2025 | 105 000 | 1 050 000 | ||
5 | 2026 | 105 000 | |||
6 | 2027 |
Шаг 3. Произведем промежуточные расчеты, о которых говорится в условии.
- Ячейка c2: Процент начислен и платеж внесен, а долг не изменился. Это означает, что был внесен только процент, следовательно, с2 = 105 000; и d2 = 0.
- Аналогично, поскольку e2 = e3 = e4, то с3 = с4 = 105 000; и d3 = d4 = 0.
Начало | Начислили | Внесли | Долг уменьшится | Остаток долга | |
a | b | c | d | e | |
1 | 2022 | 1 050 000 | |||
2 | 2023 | 105 000 | 105 000 | 0 | 1 050 000 |
3 | 2024 | 105 000 | 105 000 | 0 | 1 050 000 |
4 | 2025 | 105 000 | 105 000 | 0 | 1 050 000 |
5 | 2026 | 105 000 | |||
6 | 2027 |
Шаг 4. Введем искомую переменную R – платежи 2026 и 2027 года
В итоге:
Начало | Начислили | Внесли | Долг уменьш. | Остаток долга | |
a | b | C | d | e | |
1 | 2022 | 1 050 000 | |||
2 | 2023 | 105 000 | 105 000 | 0 | 1 050 000 |
3 | 2024 | 105 000 | 105 000 | 0 | 1 050 000 |
4 | 2025 | 105 000 | 105 000 | 0 | 1 050 000 |
5 | 2026 | 105 000 | R | R – 105 000 | 1 155 000 – R |
6 | 2027 | 115 500 – 0,1 R | R | 1,1 R – 115 000 | 0 |
Шаг 5. Составим главное уравнение задачи и решим его.
Выводы.
Рассмотренное решение представляет собой железный алгоритм, который опирается на простейшие арифметические действия и исключает вероятность ошибочного формирования главного уравнения.
В режиме реального времени заполнение чуть более 20 взаимосвязанных ячеек в таблице должно занимать 5-7 минут.
Алгоритм решения задачи:
- Определяем величину денежного долга.
- Вычисляем сумму задолженности после первого взноса.
- Находим величину долга после второго взноса
- Находим искомый процент.
- Записываем ответ.
Алгоритм решения:
- Рассматриваем, какова величина выплат по кредиту ежемесячно.
- Определяем долг по каждому месяцу.
- Находим величину требующихся процентов.
- Определяем сумму выплат за весь период.
- Вычисляем процент r суммы выплат долга.
- Записываем ответ.
Второй вариант (из ященко, №1)
[su_note note_color=”#defae6″]
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год — 240 000 рублей.
[/su_note]
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2022)
[su_note note_color=”#defae6″]
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей.
Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
Долг (в млн рублей) | 1 | 0.6 | 0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 | 0 |
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
[/su_note]
Решение:
1. В долг было взято 300 000 рублей. По условию сумма долга, подлежащего возврату увеличивается на r%, а значит в
2. После внесения платежа, равного 160 000 рублей. Остаток долга равняется
3. На следующий год остаток тоже возрастет в k раз и составит:
Вносимая сумма равна 240 000 рублей:
4. Поскольку согласно условию эти выплаты погасят весь долг, получаем квадратное уравнение:
Решаем его, с помощью формул дискриминанта и корней:
5 .Среди полученных корней один отрицательный и условию не удовлетворяет. Получаем:
Таким образом, брать кредит планируется под 20% .
Ответ: 20%.