Задание №17 ЕГЭ по математике профильного уровня ⋆ СПАДИЛО

ЕГЭ

Алгоритм решения задачи 17. математика: егэ, профильный уровень

Экономическая задача на кредит является единственной задачей из всего задания ЕГЭ, которая несет в себе не только дидактическую нагрузку, но и имеет важную практическую пользу. В настоящее время любой человек должен уметь самостоятельно построить график погашения кредита, и это умение относится к базовому уровню финансовой грамотности.

Приведенное ниже решение полезно еще и тем, что его методика может быть легко реализована как в простейшей таблице Excel, так и на уроках изучения языков программирования.

Условие задачи:

В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;

— выплаты в 2026 и 2027 годах равны;

— к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.

На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?

Решение.

Шаг 1. Построим таблицу – график погашения долга

Начало
года

Начислили
%% = 10%

Внесли
до 1 июля

Долг уменьш.
на сумму

Остаток долга
на конец года

a

b

c

d

e

1

2022

2

2023

3

2024

4

2025

5

2026

6

2027

Шаг 2. Заполним ячейки, значения которых нам известны из условия.

  1. Кредит берется в июле 2022, следовательно, e1 = 1 050 000.  Ячейки b1, с1 и d1 останутся пустыми.
  2. В январе 2023 на эту сумму e1 будет начислено 10%, следовательно, b2 = 105 000.
  3. Долг на конец 2023, 2024 и 2025 года должен быть равен 1 050 000, следовательно, e2 = e3 = e4 = 1 050 000
  4. Естественно, b3 = b4 = b5 = 105 000

Вот что должно получиться после шага 2:

Начало
года

Начислили
%% = 10%

Внесли
до 1 июля

Долг уменьшится
на сумму

Остаток долга
на конец года

a

b

с

d

e

1

2022

1 050 000

2

2023

105 000

1 050 000

3

2024

105 000

1 050 000

4

2025

105 000

1 050 000

5

2026

105 000

6

2027

Шаг 3. Произведем промежуточные расчеты, о которых говорится в условии.

  1. Ячейка c2: Процент начислен и платеж внесен, а долг не изменился. Это означает, что был внесен только процент, следовательно, с2 = 105 000; и d2 = 0.
  2. Аналогично, поскольку e2 = e3 = e4, то с3 = с4 = 105 000; и d3 = d4 = 0.

Начало
года

Начислили
%% = 10%

Внесли
до 1 июля

Долг уменьшится
на сумму

Остаток долга
на конец года

a

b

c

d

e

1

2022

1 050 000

2

2023

105 000

105 000

0

1 050 000

3

2024

105 000

105 000

0

1 050 000

4

2025

105 000

105 000

0

1 050 000

5

2026

105 000

6

2027

Шаг 4. Введем искомую переменную R – платежи 2026 и 2027 года

В итоге:

Начало
года

Начислили
%% = 10%

Внесли
до 1 июля

Долг уменьш.
на сумму

Остаток долга
на конец года

a

b

C

d

e

1

2022

1 050 000

2

2023

105 000

105 000

0

1 050 000

3

2024

105 000

105 000

0

1 050 000

4

2025

105 000

105 000

0

1 050 000

5

2026

105 000

R

R – 105 000

1 155 000 – R

6

2027

115 500 – 0,1 R

R

1,1 R – 115 000

0

Шаг 5. Составим главное уравнение задачи и решим его.

Выводы.

Рассмотренное решение представляет собой железный алгоритм, который опирается на простейшие арифметические действия и исключает вероятность ошибочного формирования главного уравнения.

В режиме реального времени заполнение чуть более 20 взаимосвязанных ячеек в таблице должно занимать 5-7 минут.

Алгоритм решения задачи:

  1. Определяем величину денежного долга.
  2. Вычисляем сумму задолженности после первого взноса.
  3. Находим величину долга после второго взноса
  4. Находим искомый процент.
  5. Записываем ответ.

Алгоритм решения:

  1. Рассматриваем, какова величина выплат по кредиту ежемесячно.
  2. Определяем долг по каждому месяцу.
  3. Находим величину требующихся процентов.
  4. Определяем сумму выплат за весь период.
  5. Вычисляем процент r суммы выплат долга.
  6. Записываем ответ.

Второй вариант (из ященко, №1)

[su_note note_color=”#defae6″]

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год — 240 000 рублей.

[/su_note]

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2022)

[su_note note_color=”#defae6″]

15-го  января  планируется  взять  кредит  в  банке  на  шесть  месяцев  в размере  1  млн  рублей.

Условия его возврата таковы:

  • 1-го  числа  каждого  месяца  долг  увеличивается  на  r  процентов  по  сравнению  с  концом предыдущего месяца, где r – целое число;
  • со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • 15-го  числа  каждого  месяца  долг  должен  составлять  некоторую  сумму  в  соответствии  со следующей таблицей.
Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг (в млн рублей) 1 0.6 0.4 0.3 0.2 0.1 0

Найдите  наибольшее  значение  r,  при  котором  общая  сумма  выплат будет  меньше  1,2 млн рублей.

[/su_note]

Решение:

1. В долг было взято 300 000 рублей. По условию сумма долга, подлежащего возврату увеличивается на r%, а значит в

2. После внесения платежа, равного 160 000 рублей. Остаток долга равняется

3. На следующий год остаток тоже возрастет в k раз и составит:

Вносимая сумма равна 240 000 рублей:

4. Поскольку согласно условию эти выплаты погасят весь долг, получаем квадратное уравнение:

Решаем его, с помощью формул дискриминанта и корней:

5 .Среди полученных корней один отрицательный и условию не удовлетворяет. Получаем:

Таким образом, брать кредит планируется под 20% .

Ответ: 20%.

Оцените статью
ЕГЭ Live